Okres podstawowy sumy modułów funkcji trygonometrycznych

[mikesz1738]

Witam,

Należy wyznaczyć okres podstawowy funkcji:

\(\displaystyle{ k(x) = \left| \sin(x) \right| + \left| \cos(x) \right| }\)

Na podstawie szkiców funkcji \(\displaystyle{ \left| \sin(x) \right| }\) i \(\displaystyle{ \left| \cos(x) \right|}\) ustaliłem, że obie funkcje składowe mają ten sam okres podstawowy \(\displaystyle{ T= \pi }\)

Następnie spradzając, że funkcja złożona z sumy funkcji o tym samym okresie również jest okresowa:

\(\displaystyle{ f(x) = h(x) + g(x) }\)
\(\displaystyle{ f(x+T) = h(x+T) + g(x+T) = h(x) + g(x) = f(x)}\)

uznałem, że okresem podstawowym funkcji \(\displaystyle{ k(x)}\) również jest \(\displaystyle{ \pi }\).

Niestety nie jest to prawidłowa odpowiedź bo najwyraźniej istnieje licba \(\displaystyle{ T_{p} < \pi }\) taka, że \(\displaystyle{ k(x+ T_{p}) = k(x) }\)

Nie wiem niestety jak podejść do wyznaczenia tej wartości.

Próbowałem jescze rozpisać \(\displaystyle{ k(x)}\) w przedziale \(\displaystyle{ \left\langle 0,2 \pi \right\rangle }\) żeby usunąć z wyrażenia operację wartości bezwzględnej ale zaczyna się mój zapis funkcji komplikować i nie jestem pewien czy to doprowadzi mnie do właściwych wniosków.

Pozdrawiam,

Michał

[JHN]

Zauważ, że
\(\displaystyle{ k\left(x+{\pi\over2}\right)=|\sin\left(x+{\pi\over2}\right)|+|\cos\left(x+{\pi\over2}\right)|=|\cos x|+|-\sin x|=k(x)}\)
i wystarczy wykazać, że nie ma mniejszego... a w 1. ćwiartce moduły opuszcza się bezproblemowo.

Pozdrawiam

[mikesz1738]

Na jakiej podstawie najlepiej sprawdzić czy istnieje okres \(\displaystyle{ T < \frac{ \pi }{2} }\)?

Zabrałem się do tego w ten sposób - dla pewnego \(\displaystyle{ T > 0}\) mamy:

\(\displaystyle{ k\left( x+T\right) = k\left( x\right) \Leftrightarrow \left| \sin\left( x+T\right) \right| + \left| \cos\left( x+T\right) \right| = \left| \sin\left( x\right) \right| + \left| \cos\left( x\right) \right| }\) wtedy gdy zajdzie jeden w warunków:

\(\displaystyle{ \sin\left( x+T\right) = \sin\left( x\right) \wedge \cos\left( x+T\right) = \cos\left( x\right) \Leftrightarrow T = 2 \pi }\)
\(\displaystyle{ \sin\left( x+T\right) = -\sin\left( x\right) \wedge \cos\left( x+T\right) = \cos\left( x\right) \Leftrightarrow T = \times }\)
\(\displaystyle{ \sin\left( x+T\right) = \sin\left( x\right) \wedge \cos\left( x+T\right) = -\cos\left( x\right) \Leftrightarrow T = \times }\)
\(\displaystyle{ \sin\left( x+T\right) = -\sin\left( x\right) \wedge \cos\left( x+T\right) = -\cos\left( x\right) \Leftrightarrow T = \pi }\)

\(\displaystyle{ \sin\left( x+T\right) = \cos\left( x\right) \wedge \cos\left( x+T\right) = \sin\left( x\right) \Leftrightarrow T = \times }\)
\(\displaystyle{ \sin\left( x+T\right) = -\cos\left( x\right) \wedge \cos\left( x+T\right) = \sin\left( x\right) \Leftrightarrow T = \frac{3 \pi }{2} }\)
\(\displaystyle{ \sin\left( x+T\right) = \cos\left( x\right) \wedge \cos\left( x+T\right) = -\sin\left( x\right) \Leftrightarrow T = \frac{ \pi }{2}}\)
\(\displaystyle{ \sin\left( x+T\right) = -\cos\left( x\right) \wedge \cos\left( x+T\right) = -\sin\left( x\right) \Leftrightarrow T = \frac{3 \pi }{2}}\)

gdzie zapis \(\displaystyle{ T= \times }\) oznacza, że nie byłem w stanie dobrać na bazie wzorów redukcyjnych liczby \(\displaystyle{ T}\) pozwalającej na spełnienie danego warunku.

Pozdrawiam,

Michał

[matmatmm]

Chaotyczne jest to co piszesz i raczej niepoprawne - nie ma kwantyfikatora na \(\displaystyle{ x}\), nie wiadomo co miałoby znaczyć \(\displaystyle{ \times}\), równoważności są nieuzasadnione (i być może niepoprawne).

Najprościej udowodnić, że nie ma mniejszego okresu niż \(\displaystyle{ \frac{\pi}{2}}\) w ten sposób:

Przypuśćmy, że istnieje okres \(\displaystyle{ 0<T<\frac{\pi}{2}}\). W szczególności \(\displaystyle{ k(0)=k(T)}\), co daje

\(\displaystyle{ 1=|\sin T|+|\cos T|}\)
\(\displaystyle{ 1=\sin T +\cos T}\)
\(\displaystyle{ 1=\sin T +\sqrt{1-\sin^2T}}\)

Po przekształceniach dostałem:

\(\displaystyle{ \sin T (\sin T-1)=0}\)

Stąd \(\displaystyle{ \sin T=0 \vee \sin T= 1}\), jednak jest to oczywiście niemożliwe ze względu na warunek \(\displaystyle{ 0<T<\frac{\pi}{2}}\). Otrzymana sprzeczność kończy dowód.

[mikesz1738]

Dziękuję serdecznie za pokazanie dowodu.

Rozpisałem go sobie krok po kroku. O ile jeszcze może byłbym w stanie wywnioskować, że wystarczy pokazanie, że istnieje choć jeden argument dla którego liczba \(\displaystyle{ 0<T< \frac{ \pi }{2} }\) nie spełnia warunku okresowości to kluczowe było tutaj początkowe założenie \(\displaystyle{ k\left( T\right) = k\left( 0\right) }\) - to już niestety przekraczało moje możliwości

Pozdrawiam,

Michał