Kolejne równanie trygonometryczne

Własności funkcji trygonometrycznych i cyklometrycznych. Tożsamości. RÓWNANIA I NIERÓWNOŚCI.
poetaopole
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 348
Rejestracja: 21 maja 2013, o 09:05
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Opole
Podziękował: 194 razy

Kolejne równanie trygonometryczne

Post autor: poetaopole » 9 paź 2020, o 06:55

Jakoś nie mam pomysłu na to:
\(\displaystyle{ (1-\sin2x)(\cos x-\sin x)=1-2\sin ^{2}x. }\)
Ostatnio zmieniony 9 paź 2020, o 08:25 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Punkt 2.7 instrukcji LaTeX-a. Funkcje matematyczne należy zapisywać: sinus - \sin, logarytm - \log, logarytm naturalny - \ln itd.

piasek101
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 23174
Rejestracja: 8 kwie 2008, o 22:04
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: piaski
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 3159 razy

Re: Kolejne równanie trygonometryczne

Post autor: piasek101 » 9 paź 2020, o 08:55

Np na początek rozpisać jedynkę (z trygonometrycznej), tę z lewej, wszystko na lewą i szukać co wyłączyć przed nawias.

poetaopole
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 348
Rejestracja: 21 maja 2013, o 09:05
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Opole
Podziękował: 194 razy

Re: Kolejne równanie trygonometryczne

Post autor: poetaopole » 9 paź 2020, o 10:35

rozpisałem "jedynkę trygonometryczną", przemnożyłem rzetelnie, sprowadziłem do zera, ale nie widzę skutecznych czynników do wyciągnięcia przed nawias...

piasek101
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 23174
Rejestracja: 8 kwie 2008, o 22:04
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: piaski
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 3159 razy

Re: Kolejne równanie trygonometryczne

Post autor: piasek101 » 9 paź 2020, o 11:25

Na prawej (po rozpisaniu jedynki) masz \(\displaystyle{ a^2-b^2}\), a na lewej jest \(\displaystyle{ a-b}\).

Tylko dalej (do końca nie robiłem) trzeba np z cosinusa zrobić sinusa - wzory redukcyjne; w nawiasie, który zostanie po wyciągnięciu przed niego wspólnego czynnika.

poetaopole
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 348
Rejestracja: 21 maja 2013, o 09:05
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Opole
Podziękował: 194 razy

Re: Kolejne równanie trygonometryczne

Post autor: poetaopole » 9 paź 2020, o 11:48

Już próbuję... wygląda na to, że dalej pójdzie

Dodano po 7 minutach 36 sekundach:
doszedłem do: \(\displaystyle{ 1-\sin2x - \cos x-\sin x=0}\) i dalej stoję...
Ostatnio zmieniony 9 paź 2020, o 12:06 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Punkt 2.7 instrukcji LaTeX-a. Funkcje matematyczne należy zapisywać: sinus - \sin, logarytm - \log, logarytm naturalny - \ln itd.

piasek101
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 23174
Rejestracja: 8 kwie 2008, o 22:04
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: piaski
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 3159 razy

Re: Kolejne równanie trygonometryczne

Post autor: piasek101 » 9 paź 2020, o 12:15

Część rozwiązań masz z tego co było wyciągnięte przed nawias.

To co podajesz : rozpisać jedynkę i zauważyć, że pierwsze trzy czynniki to \(\displaystyle{ a^2+b^2-2ab}\); zwinąć z odpowiedniego wzoru i patrzeć na koniec mojej drugiej podpowiedzi.

a4karo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 18781
Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziękował: 6 razy
Pomógł: 3178 razy

Re: Kolejne równanie trygonometryczne

Post autor: a4karo » 9 paź 2020, o 12:54

Czcza dyskusja o tym, co nie napisane. Pokaz co masz - bez tego trudno pomóc

bosa_Nike
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1543
Rejestracja: 16 cze 2006, o 15:40
Płeć: Kobieta
Podziękował: 48 razy
Pomógł: 408 razy

Re: Kolejne równanie trygonometryczne

Post autor: bosa_Nike » 9 paź 2020, o 13:15

W równaniu \(\displaystyle{ 1-\sin 2x=\sin x+\cos x}\) lewa strona jest nieujemna, więc kandydatów uzyskanych z rozwiązania \(\displaystyle{ (1-\sin 2x)^2=(\sin x+\cos x)^2}\) przesiewamy przez sito \(\displaystyle{ \sin x+\cos x\ge 0}\).

poetaopole
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 348
Rejestracja: 21 maja 2013, o 09:05
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Opole
Podziękował: 194 razy

Re: Kolejne równanie trygonometryczne

Post autor: poetaopole » 10 paź 2020, o 07:18

W końcu to rozwiązałem (dzięki waszym wskazówkom), ale była to "droga przez mękę". Przedstawię moje rozwiązanie, ale liczę na to, że ktoś przytoczy zgrabniejsze?
\(\displaystyle{ (1-\sin2x)(\cos x-\sin x)=1-2\sin ^{2}x }\)
\(\displaystyle{ (\cos x-\sin x)(1-\sin2x)-(\cos ^{2}x-\sin ^{2} x)=0}\)
\(\displaystyle{ \cos x-\sin x=0}\) lub \(\displaystyle{ 1-\sin2x=\cos x+\sin x}\)
Pierwsze równanie jest trywialne, drugie zaś podnosimy obustronnie do kwadratu, "przesiewając rozwiązania przez sito" (BOSA NIKE) warunku "prawa strona równania nieujemna". Otrzymujemy:
\(\displaystyle{ \sin ^{2}2x-3\sin2x=0 }\).
Dalej już z górki... trochę tylko trzeba się "narysować", żeby odrzucić "pierwiastki obce" równania. Odpowiedzi zgadzają się z odpowiedziami w książce (rosyjskiej z 1986).
Dziękuję wszystkim za pomoc i liczę na inne jeszcze, cudowne rozwiązanie tego zadania :) A z LATEXEM dalej sobie nie radzę :(
Ostatnio zmieniony 10 paź 2020, o 10:10 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Punkt 2.7 instrukcji LaTeX-a. Funkcje matematyczne należy zapisywać: sinus - \sin, logarytm - \log, logarytm naturalny - \ln itd.

ODPOWIEDZ