Czy wzory redukcyjne są prawdziwe dla każdego kąta \(\displaystyle{ \alpha}\), czy tylko kąta ostrego?
Mam na myśli np. wzór \(\displaystyle{ \cos \left( \frac{\pi}{2} + \alpha \right) = - \sin \alpha}\). Czy to działa tylko, gdy \(\displaystyle{ \alpha}\) jest kątem ostrym, czy \(\displaystyle{ \alpha}\) moze być dowolnym kątem?
Wzory redukcyjne
-
Dilectus
- Użytkownik
- Posty: 2662
- Rejestracja: 1 gru 2012, o 00:07
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Pomógł: 369 razy
Re: Wzory redukcyjne
Narysuj wykres funkcji \(\displaystyle{ y=\cos x}\) i przesuń go o \(\displaystyle{ \frac{\pi}{2} }\), to zobaczysz, że dostaniesz wykres funkcji \(\displaystyle{ y=-\sin x}\), a więc, że ten wzór redukcyjny jest prawdziwy dla wszystkich argumentów \(\displaystyle{ x}\)
-
janusz47
- Użytkownik
- Posty: 7917
- Rejestracja: 18 mar 2009, o 16:24
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 30 razy
- Pomógł: 1671 razy
Re: Wzory redukcyjne
Funkcję sinus dla dowolnego kąta \(\displaystyle{ \alpha }\) definiujemy
jako
\(\displaystyle{ f: \RR \rightarrow \RR: f(\alpha) = \sin(\alpha) = \frac{q}{\sqrt{p^2 + q^2}}, }\)
gdzie: \(\displaystyle{ A= (p,q) \neq (0, 0) }\) jest dowolnym punktem drugiego ramienia kąta.
Podobnie funkcję kosinus dowolnego kąta definiujemy jako
\(\displaystyle{ f: \RR \rightarrow \RR: f(\alpha) = \cos(\alpha) = \frac{p}{\sqrt{p^2 + q^2}}, }\)
gdzie: \(\displaystyle{ A= (p,q) \neq (0, 0) }\) jest dowolnym punktem drugiego ramienia kąta.
Przy określaniu funkcji trygonometrycznych "dowolnego kąta" i badaniu ich elementarnych własności, wprowadza się pojęcie miary łukowej kąta i funkcje trygonometryczne zmiennej rzeczywistej jako funkcje, które łukowej mierze kąta przyporządkowują wartości odpowiedniej funkcji trygonometrycznej tego kąta.
Kąty \(\displaystyle{ \alpha, \ \ \frac{\pi}{2} + \alpha }\) są położone na płaszczyźnie w ten sposób, że ich drugie ramiona tworzą między sobą kąt \(\displaystyle{ \frac{\pi}{2} }\) (rysunek).
Jeżeli punkt \(\displaystyle{ A = (p, q) }\) leży na drugim ramieniu kąta \(\displaystyle{ \alpha, }\) to punkt \(\displaystyle{ A^{'} = (-q, p) }\) leży na drugim ramieniu kąta \(\displaystyle{ \frac{\pi}{2} + \alpha. }\)
Stąd
\(\displaystyle{ \cos \left( \alpha + \frac{\pi}{2} \right) = \frac{-q}{\sqrt{(p)^2 + (-q)^2}} = - \frac{q}{\sqrt{p^2 + q^2}} = -\sin(\alpha). }\)
Co mieliśmy pokazać.
Podobnie dowodzi pozostałe wzory redukcyjne dla dowolnego kąta \(\displaystyle{ \alpha. }\)
jako
\(\displaystyle{ f: \RR \rightarrow \RR: f(\alpha) = \sin(\alpha) = \frac{q}{\sqrt{p^2 + q^2}}, }\)
gdzie: \(\displaystyle{ A= (p,q) \neq (0, 0) }\) jest dowolnym punktem drugiego ramienia kąta.
Podobnie funkcję kosinus dowolnego kąta definiujemy jako
\(\displaystyle{ f: \RR \rightarrow \RR: f(\alpha) = \cos(\alpha) = \frac{p}{\sqrt{p^2 + q^2}}, }\)
gdzie: \(\displaystyle{ A= (p,q) \neq (0, 0) }\) jest dowolnym punktem drugiego ramienia kąta.
Przy określaniu funkcji trygonometrycznych "dowolnego kąta" i badaniu ich elementarnych własności, wprowadza się pojęcie miary łukowej kąta i funkcje trygonometryczne zmiennej rzeczywistej jako funkcje, które łukowej mierze kąta przyporządkowują wartości odpowiedniej funkcji trygonometrycznej tego kąta.
Kąty \(\displaystyle{ \alpha, \ \ \frac{\pi}{2} + \alpha }\) są położone na płaszczyźnie w ten sposób, że ich drugie ramiona tworzą między sobą kąt \(\displaystyle{ \frac{\pi}{2} }\) (rysunek).
Jeżeli punkt \(\displaystyle{ A = (p, q) }\) leży na drugim ramieniu kąta \(\displaystyle{ \alpha, }\) to punkt \(\displaystyle{ A^{'} = (-q, p) }\) leży na drugim ramieniu kąta \(\displaystyle{ \frac{\pi}{2} + \alpha. }\)
Stąd
\(\displaystyle{ \cos \left( \alpha + \frac{\pi}{2} \right) = \frac{-q}{\sqrt{(p)^2 + (-q)^2}} = - \frac{q}{\sqrt{p^2 + q^2}} = -\sin(\alpha). }\)
Co mieliśmy pokazać.
Podobnie dowodzi pozostałe wzory redukcyjne dla dowolnego kąta \(\displaystyle{ \alpha. }\)