Równanie z tangensem i cotangensem

Własności funkcji trygonometrycznych i cyklometrycznych. Tożsamości. RÓWNANIA I NIERÓWNOŚCI.
Awatar użytkownika
Niepokonana
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1546
Rejestracja: 4 sie 2019, o 11:12
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Polska
Podziękował: 335 razy
Pomógł: 20 razy

Równanie z tangensem i cotangensem

Post autor: Niepokonana »

Dzień dobry
Nie wiem, czy mój tok rozumowania ma sens, czy może wychodzi mi tylko przypadkiem, więc proszę o pomoc.
Zadanie jest takie. \(\displaystyle{ \tg x +\ctg x =3}\) obliczyć \(\displaystyle{ |\tg x - \ctg x|}\).
Przekształcam dane równanie do \(\displaystyle{ \tg ^{2} x -3\tg x +1=0}\) i to ma wyróżnik \(\displaystyle{ \Delta= \sqrt{5} }\)
Uważam, że \(\displaystyle{ |\tg x - \ctg x|}\) to po prostu wartość bezwzględna różnicy pierwiastków równania kwadratowego czyli \(\displaystyle{ | \frac{\Delta }{a}|= \sqrt{5} }\) i według odpowiedzi to jest dobrze. Tylko pytanie, czy mój tok rozumowania ma sens.
Awatar użytkownika
kerajs
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 8570
Rejestracja: 17 maja 2013, o 10:23
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 306 razy
Pomógł: 3347 razy

Re: Równanie z tangensem i cotangensem

Post autor: kerajs »

Niepokonana pisze: 24 sie 2020, o 23:00 Uważam, że \(\displaystyle{ |\tg x - \ctg x|}\) to po prostu wartość bezwzględna różnicy pierwiastków równania kwadratowego
To bezzasadne rozumowanie. I tylko przypadek sprawił, iż wynik jest poprawny.
Policz oba pierwiastki i sprawdź ile dla każdego z nich wynosi szukana wartość.

Inaczej:
\(\displaystyle{
(\tg x +\ctg x)^2=9\\
\tg^2x+2\tg x\ctg x+\ctg^2x=9\\
\tg^2x-2\tg x\ctg x+\ctg^2x=9-4\tg x \ctg x\\
(\tg x -\ctg x)^2=9-4\\
\left| \tg x -\ctg x \right| = \sqrt{5} }\)
Awatar użytkownika
Premislav
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 15685
Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 195 razy
Pomógł: 5219 razy

Re: Równanie z tangensem i cotangensem

Post autor: Premislav »

kerajs pisze:To bezzasadne rozumowanie. I tylko przypadek sprawił, iż wynik jest poprawny.
Co do pierwszego zdania się zgadzam (nie zostało to w żaden sposób uzasadnione przez Niepokonaną), co do drugiego, zdecydowanie się nie zgodzę i błędność tego zdania wynika ze wzorów Viete'a i tożsamości \(\displaystyle{ \tg x \cdot \ctg x=1}\). Przypadek to byłby na przykład w sytuacji, w której ktoś korzysta z nieprawdziwej własności \(\displaystyle{ \ln(a+b+c)=\ln a+\ln b+\ln c}\) i otrzymuje \(\displaystyle{ \ln(1+2+3)=\ln 1+\ln 2+\ln 3}\).
Awatar użytkownika
kerajs
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 8570
Rejestracja: 17 maja 2013, o 10:23
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 306 razy
Pomógł: 3347 razy

Re: Równanie z tangensem i cotangensem

Post autor: kerajs »

Niepokonana pisze: 24 sie 2020, o 23:00 Przekształcam dane równanie do \(\displaystyle{ \tg ^{2} x -3\tg x +1=0}\) i to ma wyróżnik \(\displaystyle{ \Delta= \sqrt{5} }\)
Dla większej czytelności wprowadzę zmienną pomocniczą \(\displaystyle{ t=\tg x}\) , więc równanie ma postać: \(\displaystyle{ t^2-3t+1=0}\)
Niepokonana pisze: 24 sie 2020, o 23:00 Uważam, że \(\displaystyle{ |\tg x - \ctg x|}\) to po prostu wartość bezwzględna różnicy pierwiastków równania kwadratowego
czyli autorka całkowicie bezzasadnie zakłada, iż \(\displaystyle{ \ctg x= \frac{1}{\tg x}= \frac{1}{t_1}=t_2}\) .
Łatwo pokazać, że w równaniu kwadratowym \(\displaystyle{ at^2+bt+c=0}\) (dla niezerowych a,c i obu pierwiastków) zachodzi związek: \(\displaystyle{ \frac{1}{t_1}= \frac{a}{c} t_2 }\) . Dlatego, moim zdaniem, poprawność wyniku tutaj wynika jedynie z przypadkowej równości \(\displaystyle{ a=c}\)

Ponadto przypuszczam, że Niepokonana nie radząc sobie z zadaniem, zajrzała wpierw do odpowiedzi i do niej dobrała rozwiązanie:
Niepokonana pisze: 24 sie 2020, o 23:00 Uważam, że \(\displaystyle{ |\tg x - \ctg x|}\) to po prostu wartość bezwzględna różnicy pierwiastków równania kwadratowego
a wtedy faktycznie poprawność wyniku nie jest przypadkiem.
Awatar użytkownika
Niepokonana
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1546
Rejestracja: 4 sie 2019, o 11:12
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Polska
Podziękował: 335 razy
Pomógł: 20 razy

Re: Równanie z tangensem i cotangensem

Post autor: Niepokonana »

Ok, dziękuję za pomoc. Myślałam, że tak zachodzi, ale jednak nie zachodzi.
a4karo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 22173
Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziękował: 38 razy
Pomógł: 3748 razy

Re: Równanie z tangensem i cotangensem

Post autor: a4karo »

Akurat tak zachodzi, ale tego nie uzasadniłas
Awatar użytkownika
Niepokonana
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1546
Rejestracja: 4 sie 2019, o 11:12
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Polska
Podziękował: 335 razy
Pomógł: 20 razy

Re: Równanie z tangensem i cotangensem

Post autor: Niepokonana »

Nie róbmy kolejnego czterostronicowego wątku, w którym Pan będzie mi tłumaczył na przykładzie, jak się udowadnia twierdzenia, poprzez udowadnianie mi, że jestem głupia. Chociaż domyślam się, że może już być za późno.

Chodzi mi o to, że myślałam, że taka zależność zachodzi dla każdej równości z tangensem i cotangensem pierwszego stopnia, a okazuje się, że nie, że to zależy od czegoś innego. Teraz rozumiem. Mój tok rozumowania był błędny, bo założyłam i nie sprawdziłam. Pan kerajs już wszystko powiedział.
ODPOWIEDZ