Równanie trygonometryczne

[+pomocy+]

Dzień dobry, mam zagwozdkę z takim oto równaniem \(\displaystyle{ (1+\sin x)(1+\cos x)=\sin x\cos x}\).
Zrobiłem to tak:
\(\displaystyle{ 1+\cos x+\sin x+\sin x\cos x=\sin x\cos x}\)
\(\displaystyle{ 1+\cos x+\sin x=0}\)
\(\displaystyle{ 1+\sin x=-\cos x}\)
\(\displaystyle{ 1+2\sin x+\sin ^{2}x=\cos ^{2} x }\), ostatecznie
\(\displaystyle{ 2\sin ^{2}x+2\sin x=0}\)
\(\displaystyle{ 2\sin x(\sin x+1)=0}\)
\(\displaystyle{ 2\sin x=0 \vee \sin x=-1 }\)
Rozwiązaniem \(\displaystyle{ \sin x=-1}\) jest \(\displaystyle{ \frac{3}{2} \pi +2k \pi , k \in \ZZ }\), natomiast \(\displaystyle{ \sin x=0 }\) nie może być rozwiązaniem, ponieważ wtedy na tym samym \(\displaystyle{ x}\) mamy \(\displaystyle{ \cos x=-1}\), a to nie jest prawda. Czy mógłby ktoś to zweryfikować, a jeśli jest dobrze to czy istnieje szybszy sposób? Z góry dziękuje.

[Janusz Tracz]

\(\displaystyle{ 1+\sin x=-\cos x}\)
\(\displaystyle{ 1+2\sin x+\sin ^{2}x=\cos ^{2} x }\)

To przejście jako, że jest nierównoważne wprowadza pierwiastki obce które należy ostatecznie zweryfikować. Twoja weryfikacja nie jest do końca słuszna. Faktycznie jedną serią rozwiązań jest \(\displaystyle{ x=\frac{3}{2} \pi +2k \pi , k \in \ZZ }\) ale dla \(\displaystyle{ \sin x=0}\) też niektóre rozwiązania są ok. Bo gdy \(\displaystyle{ \sin x=0}\) to \(\displaystyle{ \cos x=1}\) lub \(\displaystyle{ \cos x=-1}\) i zauważ, że jeśli podstawimy do tego równania \(\displaystyle{ \sin x=0 }\) oraz \(\displaystyle{ \cos x=-1}\) to zostanie ono spełnione. Więc trzeba uwzględnić też serię rozwiązań postaci \(\displaystyle{ x=\pi +2k \pi , k \in \ZZ }\).

czy istnieje szybszy sposób?

Osobiście zapisał bym to trochę inaczej (na czerwono zaznaczę miejsce Twojego rozwiązania od którego ja robił bym inaczej):
\(\displaystyle{ \red{1+\cos x+\sin x=0}}\)
\(\displaystyle{ \cos x+\sin x=-1}\)
\(\displaystyle{ \sqrt{2}\sin \left( x+ \frac{ \pi }{4} \right) =-1 }\)
\(\displaystyle{ \sin \left( x+ \frac{ \pi }{4} \right) =- \frac{ \sqrt{2} }{2} }\)
a dalej to już standard.