Funkcje okresowe udowodnij że

[a4karo]

No to bazując na Twoim przykładzie: jaki okres ma funkcja `\sin x+40\sin x`. A jaki okres ma funkcja `\sin x +(-1)\cdot\sin x`? Widzsz, że to jednak zależy od `a`?

Jeżeli `x_1` jest okresem `f`, to są nimi również `x_1+x_1`, `x_1+x_1+x_1` etc.
Jeżeli `x_2` jest okresem `g`, to są nimi również `x_2+x_2`, `x_3+x_3+x_3` etc.

Kiedy te liczby się "spotkają"?

[Niepokonana]

Panie Aidi napisałam parę postów wyżej. W każdym razie jest to zwykły zbiór zadań dla szkoły średniej dla zwykłych uczniów, nie żaden olimpijski.

Panie a4karo, w sumie czasami ten parametr może wpływać na okres.
Spotkają się, jak suma tych wszystkich \(\displaystyle{ x_{1}}\) będzie podzielna przez \(\displaystyle{ x_{2}}\) i odwrotnie.

[a4karo]

Niepokonana: dostajesz wskazówki (albo odpowiedź - jak od P) to może zrób coś z tym sama, a nie czekaj na gotowca.

Piszesz, że nie znasz funkcji `\{x\}`. Dostałaś jej nazwę (część całkowita). Może powinnaś przynajmniej sprawdzić co to jest?

Czy po tych wszystkich postach nie dopuszczasz możliwości, że autor zadania nie przeanalizował go do końca i wydawało mu się łatwe. Tak się zdarza.
Czy przeczytałaś ciekawy post janusza47, który powstał w odpowiedzi na Twoje pytanie?

[Jan Kraszewski]

Piszesz, że nie znasz funkcji `\{x\}`. Dostałaś jej nazwę (część całkowita).

Coś mi nazwa do nawiasów nie pasuje...

JK

[a4karo]

No pewnie ze nie pasuje bo to część ulamkowa jest. I tak było w poście, gdzie o niej pisałem. Przepraszam za pomyłkę

[Niepokonana]

Że co? Że ja na gotowca czekam? Pan doskonale wie, że to nieprawda i Pan tak tylko stwierdził, żeby było mi przykro. Cóż nie robi to na mnie wrażenia. Nie zależy mi na gotowcach z prostej przyczyny - moja pani tego i tak nie sprawdzi, ja się uczę sama dla siebie.
Wie Pan, ciężko mi się połapać, gdy jeden z Panów coś pisze dziwnymi wzorami, a potem się z tego wycofuje, przepraszając za pomyłkę. Co jest dobrze, a co źle?

Pan mi zadał dwa pytania, to ja na nie odpowiedziałam, kiedy te iksy się spotkają. To co dalej?

Sprawdzam, co to jest ta dziwna funkcja i wyskakuje mi, że schodkowa, jakaś z przedziałami, ale nic nie jest powiedziane o okresie albo przynajmniej nie wprost. Na pewno umie mi to Pan wyjaśnić bez tej funkcji.

Dodano po 7 minutach 52 sekundach:
A dobra, już widzę. Ta dziwna funkcja nawiasowa to taka funkcja, która zostawia część ułamkową - odejmuje część całkowitą. Wygląda na to, że faktycznie jest okresowa, chociaż próbuję zrozumieć, jak to wygląda z liczbami ujemnymi. Chyba tak samo jak z dodatnimi. Domyślam się, że taka funkcja ma okres \(\displaystyle{ 1}\). Dąży do jedynki, a potem się zeruje i tak w kółko.

[Jan Kraszewski]

Wygląda na to, że faktycznie jest okresowa, chociaż próbuję zrozumieć, jak to wygląda z liczbami ujemnymi.

Trzeba uważać, bo np. \(\displaystyle{ \{-0,7\}=0,3}\) (gdyż \(\displaystyle{ -0,7=-1+0,3}\)). Dla liczb dodatnich po prostu skreślasz to, co jest przed przecinkiem, dla ujemnych to nie jest tak automatyczne.

JK

[a4karo]

Że co? Że ja na gotowca czekam? Pan doskonale wie, że to nieprawda i Pan tak tylko stwierdził, żeby było mi przykro. Cóż nie robi to na mnie wrażenia. Nie zależy mi na gotowcach z prostej przyczyny - moja pani tego i tak nie sprawdzi, ja się uczę sama dla siebie.
Wie Pan, ciężko mi się połapać, gdy jeden z Panów coś pisze dziwnymi wzorami, a potem się z tego wycofuje, przepraszając za pomyłkę. Co jest dobrze, a co źle?

No właśnie, gdybyś uczyła się sama dla siebie, to byś przeanalizowała podany przeze mnie przykład i stwierdziła, że napisałem bzdurę. Po prostu przeczytałaś tekst i nie zadałaś sobie trudu z jego zrozumieniem.

Dokładnie to samo z funkcją ułamkową.

Pan mi zadał dwa pytania, to ja na nie odpowiedziałam, kiedy te iksy się spotkają. To co dalej?

No właśnie. Napisałaś kiedy, ale nie pofatygowałaś się aby zrobić kolejny krok - zastanowić się czym będzie ta liczba. Gdybyś to zrobiła, to `NWW` zobaczyłabyś automatycznie.

Sprawdzam, co to jest ta dziwna funkcja i wyskakuje mi, że schodkowa, jakaś z przedziałami, ale nic nie jest powiedziane o okresie albo przynajmniej nie wprost. Na pewno umie mi to Pan wyjaśnić bez tej funkcji.

Ta "dziwna" funkcja, podobnie jek funkcje trygonometryczne to bardzo często używane narzędzia tam, gdzie mamy do czynienia z okresowością.

Jeżeli chcesz bez niej, to zastanów się nad funkcjami `f(x)=1-\cos^2 x` i `g(x)=1-\cos^2(\sqrt{2} x)`. Obie są okresowe, a ich suma przyjmuje wartość zero tylko w jednym punkcie.

[Niepokonana]

Pan jest na mnie dziś zły?
Pan jest mądry, wykształcony,a ja się nie znam, więc ja Panu wierzę. Przecież nie będę wytykać błędów profesorowi czy wykładowcy akademickiemu.

Proszę Pana, jak Pan zaczął robić te dygresje, to się pogubiłam. Wróćmy na właściwe tory. Skoro suma \(\displaystyle{ x_{1}}\) jest podzielna przez \(\displaystyle{ x_{2}}\) i vice versa, to to musi być wspólna wielokrotność. Okres podstawowy jest najmniejszą z tych wspólnych wielokrotności.
Ale wróćmy do udowodnienia, że taka suma jest w ogóle okresowa, bo przecież na razie my nie wiemy, czy coś z czymkolwiek będzie się spotykać.

[Jan Kraszewski]

Pan jest mądry, wykształcony,a ja się nie znam, więc ja Panu wierzę. Przecież nie będę wytykać błędów profesorowi czy wykładowcy akademickiemu.

A dlaczego?! Jak się pomylił, to należy mu to wytknąć.

W matematyce nie chodzi o wiarę, tylko o zrozumienie.

JK

[a4karo]

Pan jest na mnie dziś zły?

Nie, ale irytujesz brakiem myślenia.

Proszę Pana, jak Pan zaczął robić te dygresje, to się pogubiłam. Wróćmy na właściwe tory. Skoro suma \(\displaystyle{ x_{1}}\) jest podzielna przez \(\displaystyle{ x_{2}}\) i vice versa, to to musi być wspólna wielokrotność.

Co to jest to "to"?

Ale wróćmy do udowodnienia, że taka suma jest w ogóle okresowa, bo przecież na razie my nie wiemy, czy coś z czymkolwiek będzie się spotykać.

Mam wrażenie, że nie napisałaś na kartce ani jednej linijki próby rozwiązania, bo w przeciwnym razie już być coś miała:

Jeżeli `y=kx_1=lx_2`, to
`h(x+y)=f(x+kx_1)+ag(x+lx_2)=...`

A to zdanie

Okres podstawowy jest najmniejszą z tych wspólnych wielokrotności.

świadczy, że niestety nic nie zrozumiałaś z tego, co tu zostało napisane. Przeczytaj to jeszcze raz i powiedz co jest niejasne.

[Niepokonana]

A dlaczego?! Jak się pomylił, to należy mu to wytknąć.

W matematyce nie chodzi o wiarę, tylko o zrozumienie.

JK

Wiedziałam, że Pan doktor tak powie. Chociaż jest na tym forum pewna osoba, która by się z Panem doktorem nie zgodziła.
Zanim się wytknie błąd, to najpierw trzeba rozumieć, na czym ten błąd polega. W takim razie wytykam panu a4karo, że na początku dyskusji napisał "\(\displaystyle{ \sin ^{2} + \cos ^{2} }\)", a przecież sinusy i cosinusy nie mogą istnieć bez argumentów.

Pan jest na mnie dziś zły?

Nie, ale irytujesz brakiem myślenia.

Wiem, że to dla Pana żadna wymówka, ale po prostu od paru dni tak źle się czuję, że ledwo się trzymam w pozycji względnie pionowej. Ale nie ma czasu na leżenie, trzeba się uczyć. Pan próbuje coś do mnie mówić od dwóch dni, a ja nie rozumiem, że Pan do mnie mówi.
Na początku Premislav podał mi ładne znaczki, którymi można ten problem opisać, ale nie umiałam iść dalej. Potem Pan zaczął mi tłumaczyć, że są funkcje okresowe, których suma nie jest okresowa. Już rozumiem, bo przecież \(\displaystyle{ f(x)= \{ x \} + \{ \sqrt{2}x \}}\) osiąga wartość zero tylko w jednym miejscu - w zerze. W każdym innym miejscu albo jedna połowa tej funkcji jest dodatnia albo druga. Na 100% pewna nie jestem, ale myślę, że okresem funkcji \(\displaystyle{ \{ \sqrt{2}x \}}\) jest \(\displaystyle{ \frac{ \sqrt{2} }{2}}\).
Czyli w tym zadaniu chodzi tylko o szczególny przypadek funkcji okresowej? Na to wygląda. Skoro dla nie każdych dwóch funkcji okresowych tak zachodzi, to powinniśmy to zaznaczyć na początku dowodu, prawda? Powinniśmy stwierdzić, dla jakich dwóch funkcji taka zależność zachodzi.

[a4karo]

W takim razie wytykam panu a4karo, że na początku dyskusji napisał "\(\displaystyle{ \sin ^{2} + \cos ^{2} }\)", a przecież sinusy i cosinusy nie mogą istnieć bez argumentów.

Skoro sinusy i cosinusy nie mogą istnieć bez argumentów, to co jest podmiotem w Twoim zdaniu?

W matematyce często używa się różnych określeń w różnych kontekstach: jeżeli mówię, że sinus jest okresowy, to ma na myśli funkcję o nazwie sinus. I wtedy nie potrzebuję argumentu.
Tak samo jeżeli mówię o sumie kwadratów sinusa i cosinusa - to jest nazwa tej funkcji.
Oczywiście, mógłbym ją (tę nazwę) napisać słowami ale wybrałem taki sposób zapisu, bo nie powinien wywoływać żadnych wątpliwości.

Wiem skąd się bierze kłopot: nie wszystkie funkcje mają swoje nazwy, lub prawidłowe ich użycie byłoby skomplikowane. Dlatego mówimy edoiks mając na myśli "funkcje wykładniczą o podstawie e" albo "ikskwadrat" - ta funkcja innej nazwy się nie dorobiła w języku polskim.

Podam Ci jeszcze przykład, kiedy użycie argumentu jest wręcz nieprawidłowe. Popatrz na taki tekst

Niech `x=\pi/6` i `y=\pi/3`. Ponieważ funkcja `\sin x` jest rosnąca w przedziale `(0,\pi/2)`, zachodzi `1/2=\sin (\pi/6)<\sqrt{3}/2=\sin (\pi/3).`

I na taki

Niech `x=\pi/6` i `y=\pi/3`. Ponieważ funkcja sinus jest rosnąca w przedziale `(0,\pi/2)`, zachodzi `1/2=\sin (\pi/6)<\sqrt{3}/2=\sin (\pi/3).`

Poprawny jest drugi zapis, bo `sin x` jest liczbą (równą `1/2`), bo `x=\pi/6`.

Generalnie `f(x)` oznacza wartość funkcji dla argumentu `x`, natomiast `f` jest jej nazwą. Na ogól jednak czytelnik poradzi sobie z kontekstem.

Natomiast zgadzam się, że np. tu: "Oblicz wartość wyrażenia `4+\sin-\ln` argumenty funkcji są konieczne.

Potem Pan zaczął mi tłumaczyć, że są funkcje okresowe, których suma nie jest okresowa. Już rozumiem, bo przecież \(\displaystyle{ f(x)=\{x\}+\{ \sqrt{2}x\}}\) osiąga wartość zero tylko w jednym miejscu - w zerze. W każdym innym miejscu albo jedna połowa tej funkcji jest dodatnia albo druga.

A niby dlaczego tak jest. Bez dowodu nikogo nie przekonasz. A dowód może wyglądać np tak.
Jeżeli dla `x\ne 0` zachodzi `f(x)=0`, to ponieważ oba składniki sumy sa nieujemne musi zachodzić `\{x\}=0` i `\{\sqrt{2}x\}=0`. Zatem istnieją dwie liczby całkowite `m,n` takie, że `x=m` i `\sqrt{2}x=n`. Stąd otrzymujemy, że `sqrt{2}=n/m`, a to jest niemożliwe, bo `\sqrt2` jest niewymierny

Na 100% pewna nie jestem, ale myślę, że okresem funkcji \(\displaystyle{ { \sqrt{2}x}}\) jest \(\displaystyle{ \frac{ \sqrt{2} }{2}}\).

Nie powinno Ci się wydawać - powinnaś to udowodnić. Zrób to.

Czyli w tym zadaniu chodzi tylko o szczególny przypadek funkcji okresowej? Na to wygląda. Skoro dla nie każdych dwóch funkcji okresowych tak zachodzi, to powinniśmy to zaznaczyć na początku dowodu, prawda? Powinniśmy stwierdzić, dla jakich dwóch funkcji taka zależność zachodzi.

Po raz kolejny potwierdzasz, że nie zwracasz uwagi na założenia. A w założeniach jest napisane, że okresy obu funkcji są liczbami naturalnymi. I nie ma sensu pisać o tym w dowodzie.

[Niepokonana]

Przepraszam, że tak późno odpisuję, ale musiałam się zastanowić i ogarnąć też inne rzeczy.

Skoro sinusy i cosinusy nie mogą istnieć bez argumentów, to co jest podmiotem w Twoim zdaniu?
Podam Ci jeszcze przykład, kiedy użycie argumentu jest wręcz nieprawidłowe. Popatrz na taki tekst

Niech `x=\pi/6` i `y=\pi/3`. Ponieważ funkcja `\sin x` jest rosnąca w przedziale `(0,\pi/2)`, zachodzi `1/2=\sin (\pi/6)<\sqrt{3}/2=\sin (\pi/3).`

I na taki

Niech `x=\pi/6` i `y=\pi/3`. Ponieważ funkcja sinus jest rosnąca w przedziale `(0,\pi/2)`, zachodzi `1/2=\sin (\pi/6)<\sqrt{3}/2=\sin (\pi/3).`

Poprawny jest drugi zapis, bo `sin x` jest liczbą (równą `1/2`), bo `x=\pi/6`.

Generalnie `f(x)` oznacza wartość funkcji dla argumentu `x`, natomiast `f` jest jej nazwą. Na ogól jednak czytelnik poradzi sobie z kontekstem.

Natomiast zgadzam się, że np. tu: "Oblicz wartość wyrażenia `4+\sin-\ln` argumenty funkcji są konieczne.

Pan mnie sprawdza, czy ja nie umiem czytać? Z tego, co zrozumiałam, to Pan podał dwa takie same przykłady, a tylko jeden z nich Pan opisał jako prawidłowy.

Potem Pan zaczął mi tłumaczyć, że są funkcje okresowe, których suma nie jest okresowa. Już rozumiem, bo przecież \(\displaystyle{ f(x)=\{x\}+\{ \sqrt{2}x\}}\) osiąga wartość zero tylko w jednym miejscu - w zerze. W każdym innym miejscu albo jedna połowa tej funkcji jest dodatnia albo druga.

A niby dlaczego tak jest. Bez dowodu nikogo nie przekonasz. A dowód może wyglądać np tak.
Jeżeli dla `x\ne 0` zachodzi `f(x)=0`, to ponieważ oba składniki sumy sa nieujemne musi zachodzić `\{x\}=0` i `\{\sqrt{2}x\}=0`. Zatem istnieją dwie liczby całkowite `m,n` takie, że `x=m` i `\sqrt{2}x=n`. Stąd otrzymujemy, że `sqrt{2}=n/m`, a to jest niemożliwe, bo `\sqrt2` jest niewymierny.

Pan to tak udowodnił. Ja to widzę inaczej. Mamy dwie funkcje, które są zsumowane ze sobą - \(\displaystyle{ f(x)=\{ x\}}\) i \(\displaystyle{ g(x)= \{ \sqrt{2}x \}}\). Obie przyjmują wartość \(\displaystyle{ 0}\) w zerze, więc ich suma też przyjmuje wartość zero w zerze. Z definicji funkcji okresowej wiemy, że dla każdego argumentu należącego do dziedziny przyjmującego wartość \(\displaystyle{ f(x)}\) istnieje takie \(\displaystyle{ a}\) będące okresem funkcji, że \(\displaystyle{ f(x)=f(x+a) }\). Czyli funkcja \(\displaystyle{ h(x)=\{ x\}+g(x)= \{ \sqrt{2}x \}}\) przyjmująca wartość \(\displaystyle{ 0}\) dla \(\displaystyle{ x=0}\) musi przyjmować wartość \(\displaystyle{ 0}\) dla innych argumentów, których jest nieskończoność i znajdują się od siebie w stałej odległości na osi. A jakie to argumenty? Wiemy, że \(\displaystyle{ h(x)}\) jest sumą dwóch funkcji przyjmujących tylko wartości nieujemne, więc \(\displaystyle{ h(x)=0}\) gdy \(\displaystyle{ f(x)=0}\) i \(\displaystyle{ g(x)=0}\). Funkcja \(\displaystyle{ f(x)}\) przyjmuje wartość zero tylko dla argumentów całkowitych, czyli \(\displaystyle{ g(x)}\) też musi przyjmować wartość zero dla argumentów całkowitych, żeby \(\displaystyle{ h(x)}\) była okresowa. Ale przecież nie ma takiej liczby całkowitej różnej od zera, która po pomnożeniu przez \(\displaystyle{ \sqrt{2}}\) dawałaby wynik całkowity. W związku z tym \(\displaystyle{ h(x)}\) nie może być okresowa.
Napisałam nieskładnie, ale Pan rozumie, o co mi chodzi. W sumie Pan to napisał to samo, ale używając jakichś nowych zmiennych, a ja zrobiłam to samymi iksami.

Na 100% pewna nie jestem, ale myślę, że okresem funkcji \(\displaystyle{ { \sqrt{2}x}}\) jest \(\displaystyle{ \frac{ \sqrt{2} }{2}}\).

Nie powinno Ci się wydawać - powinnaś to udowodnić. Zrób to.

Funkcja \(\displaystyle{ y=\{ \sqrt{2} \}}\) przyjmuje wartość \(\displaystyle{ 0}\) tam, gdzie funkcja \(\displaystyle{ f(x)= \sqrt{2}}\) przyjmuje wartości całkowite. Wiemy, że \(\displaystyle{ f(x)= \sqrt{2}x}\) jest funkcją liniową, która rośnie w stałym tempie, więc odległość pomiędzy argumentami o całkowitych wartościach jest stała.
Oczywiście najmniejsza możliwa różnica pomiędzy dwoma całkowitymi wartościami tej funkcji wynosi \(\displaystyle{ 1}\). Taka różnica występuje między innymi między argumentem o wartości \(\displaystyle{ 0}\) i argumentem o wartości \(\displaystyle{ 1}\). \(\displaystyle{ f(x)=0}\) dla \(\displaystyle{ x=0}\) i \(\displaystyle{ f(x)=1}\) dla \(\displaystyle{ x= \frac{ \sqrt{2} }{2} }\). Czyli funkcja \(\displaystyle{ f(x)}\) przyjmuje wartości całkowite co \(\displaystyle{ \frac{ \sqrt{2} }{2}x}\). Czyli okresem podstawowym \(\displaystyle{ y=\{ \sqrt{2} \}}\) jest \(\displaystyle{ \frac{ \sqrt{2} }{2} }\)

Czyli w tym zadaniu chodzi tylko o szczególny przypadek funkcji okresowej? Na to wygląda. Skoro dla nie każdych dwóch funkcji okresowych tak zachodzi, to powinniśmy to zaznaczyć na początku dowodu, prawda? Powinniśmy stwierdzić, dla jakich dwóch funkcji taka zależność zachodzi.

Po raz kolejny potwierdzasz, że nie zwracasz uwagi na założenia. A w założeniach jest napisane, że okresy obu funkcji są liczbami naturalnymi. I nie ma sensu pisać o tym w dowodzie.

No mówię Panu, że ja nie kontaktuję i do mnie trzeba powoli. To przejdźmy w końcu do dowodu. Jak to uzasadnić, że będą okresowe? Wiem, na tym etapie to głupie pytanie. Może tak jak z definicji? Że \(\displaystyle{ f(x)=f(x+a)}\)? Myślę, że w ten sposób by się dało. Tylko trzeba wyrzucić funkcje typu \(\displaystyle{ \sin ^{2} \pi x}\) i \(\displaystyle{ \cos ^{2} \pi x}\).

Dodano po 13 minutach 8 sekundach:
Myślę, jak to wykazać... Najprościej pewnie będzie udowadniać nie wprost i doprowadzić do sprzeczności. Tylko jak?
Załóżmy, że mamy funkcje \(\displaystyle{ f(x)}\) o okresie \(\displaystyle{ b}\) i \(\displaystyle{ g(x)}\) o okresie \(\displaystyle{ c}\), gdzie \(\displaystyle{ b,c \in \mathbb N}\). Teza jest taka, że nie istnieje takie \(\displaystyle{ d \in \mathbb N}\), dla którego zachodzi \(\displaystyle{ f(x)+g(x)=h(x)=h(x+d)}\). Tylko co dalej. To faktycznie nie jest proste.

[a4karo]

Skoro sinusy i cosinusy nie mogą istnieć bez argumentów, to co jest podmiotem w Twoim zdaniu?
Podam Ci jeszcze przykład, kiedy użycie argumentu jest wręcz nieprawidłowe. Popatrz na taki tekst

Niech `x=\pi/6` i `y=\pi/3`. Ponieważ funkcja `\sin x` jest rosnąca w przedziale `(0,\pi/2)`, zachodzi `1/2=\sin (\pi/6)<\sqrt{3}/2=\sin (\pi/3).`

I na taki

Niech `x=\pi/6` i `y=\pi/3`. Ponieważ funkcja sinus jest rosnąca w przedziale `(0,\pi/2)`, zachodzi `1/2=\sin (\pi/6)<\sqrt{3}/2=\sin (\pi/3).`

Poprawny jest drugi zapis, bo `sin x` jest liczbą (równą `1/2`), bo `x=\pi/6`.

Generalnie `f(x)` oznacza wartość funkcji dla argumentu `x`, natomiast `f` jest jej nazwą. Na ogól jednak czytelnik poradzi sobie z kontekstem.

Natomiast zgadzam się, że np. tu: "Oblicz wartość wyrażenia `4+\sin-\ln` argumenty funkcji są konieczne.

Pan mnie sprawdza, czy ja nie umiem czytać? Z tego, co zrozumiałam, to Pan podał dwa takie same przykłady, a tylko jeden z nich Pan opisał jako prawidłowy.

Jak są takie same, to nie może być tak, że jeden jest prawdziwy, a drugi nie. Nieprawda? Niestety, nie wyciągnęłaś z tego żadnych wniosków. A przecież `\sin x=1/2` i pierwsze zdanie można by napisać tak

Niech `x=\pi/6` i `y=\pi/3`. Ponieważ funkcja `1/2` jest rosnąca w przedziale `(0,\pi/2)`, zachodzi `1/2=\sin (\pi/6)<\sqrt{3}/2=\sin (\pi/3).`

Ma to sens?

Potem Pan zaczął mi tłumaczyć, że są funkcje okresowe, których suma nie jest okresowa. Już rozumiem, bo przecież \(\displaystyle{ f(x)=\{x\}+\{ \sqrt{2}x\}}\) osiąga wartość zero tylko w jednym miejscu - w zerze. W każdym innym miejscu albo jedna połowa tej funkcji jest dodatnia albo druga.

A niby dlaczego tak jest. Bez dowodu nikogo nie przekonasz. A dowód może wyglądać np tak.
Jeżeli dla `x\ne 0` zachodzi `f(x)=0`, to ponieważ oba składniki sumy sa nieujemne musi zachodzić `\{x\}=0` i `\{\sqrt{2}x\}=0`. Zatem istnieją dwie liczby całkowite `m,n` takie, że `x=m` i `\sqrt{2}x=n`. Stąd otrzymujemy, że `sqrt{2}=n/m`, a to jest niemożliwe, bo `\sqrt2` jest niewymierny.

Pan to tak udowodnił. Ja to widzę inaczej. Mamy dwie funkcje, które są zsumowane ze sobą - \(\displaystyle{ f(x)=\{ x\}}\) i \(\displaystyle{ g(x)= \{ \sqrt{2}x \}}\). Obie przyjmują wartość \(\displaystyle{ 0}\) w zerze, więc ich suma też przyjmuje wartość zero w zerze. Z definicji funkcji okresowej wiemy, że dla każdego argumentu należącego do dziedziny przyjmującego wartość \(\displaystyle{ f(x)}\) istnieje takie \(\displaystyle{ a}\) będące okresem funkcji, że \(\displaystyle{ f(x)=f(x+a) }\). Czyli funkcja \(\displaystyle{ \blue{h(x)=\{ x\}+g(x)= \{ \sqrt{2}x \}}}\) przyjmująca wartość \(\displaystyle{ 0}\) dla \(\displaystyle{ x=0}\) musi przyjmować wartość \(\displaystyle{ 0}\) dla innych argumentów, których jest nieskończoność i znajdują się od siebie w stałej odległości na osi.

Pomijając ten niebieski potworek ten argument jest prawie poprawny. Natomiast nie jest prawdą zielone zdanie. Okresem funkcji \(\displaystyle{ q(x)=\begin{cases}1 & x\in\QQ\\0 & x\not\in\QQ\end{cases}}\) jest każda liczba wymierna

A jakie to argumenty? Wiemy, że \(\displaystyle{ h(x)}\) jest sumą dwóch funkcji przyjmujących tylko wartości nieujemne, więc \(\displaystyle{ h(x)=0}\) gdy \(\displaystyle{ f(x)=0}\) i \(\displaystyle{ g(x)=0}\). Funkcja \(\displaystyle{ f(x)}\) przyjmuje wartość zero tylko dla argumentów całkowitych, czyli \(\displaystyle{ g(x)}\) też musi przyjmować wartość zero dla argumentów całkowitych, żeby \(\displaystyle{ h(x)}\) była okresowa. Ale przecież nie ma takiej liczby całkowitej różnej od zera, która po pomnożeniu przez \(\displaystyle{ \sqrt{2}}\) dawałaby wynik całkowity. W związku z tym \(\displaystyle{ h(x)}\) nie może być okresowa.
Napisałam nieskładnie, ale Pan rozumie, o co mi chodzi. W sumie Pan to napisał to samo, ale używając jakichś nowych zmiennych, a ja zrobiłam to samymi iksami.

Tak, idea obu dowodów jest taka sama, do czytelnika należy ocena, który bardziej mu sie podoba.

Na 100% pewna nie jestem, ale myślę, że okresem funkcji \(\displaystyle{ { \sqrt{2}x}}\) jest \(\displaystyle{ \frac{ \sqrt{2} }{2}}\).

Nie powinno Ci się wydawać - powinnaś to udowodnić. Zrób to.

Funkcja \(\displaystyle{ y=\{ \sqrt{2} \}}\) przyjmuje wartość \(\displaystyle{ 0}\) tam, gdzie funkcja \(\displaystyle{ f(x)= \sqrt{2}}\) przyjmuje wartości całkowite. Wiemy, że \(\displaystyle{ f(x)= \sqrt{2}x}\) jest funkcją liniową, która rośnie w stałym tempie, więc odległość pomiędzy argumentami o całkowitych wartościach jest stała.
Oczywiście najmniejsza możliwa różnica pomiędzy dwoma całkowitymi wartościami tej funkcji wynosi \(\displaystyle{ 1}\). Taka różnica występuje między innymi między argumentem o wartości \(\displaystyle{ 0}\) i argumentem o wartości \(\displaystyle{ 1}\). \(\displaystyle{ f(x)=0}\) dla \(\displaystyle{ x=0}\) i \(\displaystyle{ f(x)=1}\) dla \(\displaystyle{ x= \frac{ \sqrt{2} }{2} }\). Czyli funkcja \(\displaystyle{ f(x)}\) przyjmuje wartości całkowite co \(\displaystyle{ \frac{ \sqrt{2} }{2}\blue{x}}\). Czyli okresem podstawowym \(\displaystyle{ y=\{ \sqrt{2} \}}\) jest \(\displaystyle{ \frac{ \sqrt{2} }{2} }\)

Prawda (niebieski `x` jest zbędny), choć mnie bardziej przekonuje zapis `g(x+{\sqrt{2}}/2)=\{\sqrt{2}x+1\}=\{\sqrt{2}x\}=g(x)` i fakt, że `g` jest rosnąca w przedziale `(0,{\sqrt{2}}/2)`

Czyli w tym zadaniu chodzi tylko o szczególny przypadek funkcji okresowej? Na to wygląda. Skoro dla nie każdych dwóch funkcji okresowych tak zachodzi, to powinniśmy to zaznaczyć na początku dowodu, prawda? Powinniśmy stwierdzić, dla jakich dwóch funkcji taka zależność zachodzi.

Po raz kolejny potwierdzasz, że nie zwracasz uwagi na założenia. A w założeniach jest napisane, że okresy obu funkcji są liczbami naturalnymi. I nie ma sensu pisać o tym w dowodzie.

No mówię Panu, że ja nie kontaktuję i do mnie trzeba powoli. To przejdźmy w końcu do dowodu. Jak to uzasadnić, że będą okresowe? Wiem, na tym etapie to głupie pytanie. Może tak jak z definicji? Że \(\displaystyle{ f(x)=f(x+a)}\)? Myślę, że w ten sposób by się dało. Tylko trzeba wyrzucić funkcje typu \(\displaystyle{ \sin ^{2} \pi x}\) i \(\displaystyle{ \cos ^{2} \pi x}\).

Dodano po 13 minutach 8 sekundach:
Myślę, jak to wykazać... Najprościej pewnie będzie udowadniać nie wprost i doprowadzić do sprzeczności. Tylko jak?
Załóżmy, że mamy funkcje \(\displaystyle{ f(x)}\) o okresie \(\displaystyle{ b}\) i \(\displaystyle{ g(x)}\) o okresie \(\displaystyle{ c}\), gdzie \(\displaystyle{ b,c \in \mathbb N}\). Teza jest taka, że nie istnieje takie \(\displaystyle{ d \in \mathbb N}\), dla którego zachodzi \(\displaystyle{ f(x)+g(x)=h(x)=h(x+d)}\). Tylko co dalej. To faktycznie nie jest proste.

O jej. Napisał Ci już Premislav jak znaleźć ten okres, ja napisałem jak zabrać się za dowód, a panna siedzi w kącie i czeka żeby ją popchnąć do innego kąta?

Udowodnij taki fakt (trywialny): jeżeli `a` jest okresem funkcji `f`, to dla każdego naturalnego `k` liczba `ka` też jest okresem `f` (zauważyłaś, że nie używam w tym zdaniu `f(x)`? Pisze o funkcji, która się nazywa `f` i używam jej nazwy)

A jak jjuż to zrobisz, to pokaż, że (wracamy teraz do treści zadania) jeżeli `y` jest wspólną wielokrotnością `x_` i `x_2` (czyli jeżli istnieją `k,l\in\NN` takie, że `y=kx_1=lx_2`, to `y` jest okresem funkcji `h=f+ag`.
Wsk (już była, ale co tam) `h(x+y)=f(x+y)+ag(x+y)=f(x+kx_1)+ag(x+lx_2)=...`