Funkcje okresowe udowodnij że

[Niepokonana]

Dzień dobry

Proszę o pomoc z prostym zadaniem. Ja rozumiem, dlaczego tak jest, ale nie umiem tego ładnie napisać słowami.

Dane są funkcje okresowe \(\displaystyle{ f(x)}\) i \(\displaystyle{ g(x)}\), każda ma swój własny okres podstawowy będący liczbą naturalną, mogą mieć takie same okresy, ale nie muszą. Udowodnij, że funkcja \(\displaystyle{ h(x)=f(x)+ ag(x)}\) gdzie \(\displaystyle{ a\in \mathbb R \setminus \{0\}}\) też jest okresowa i oblicz jej okres podstawowy.
Jak to zapisać? Dodanie parametru \(\displaystyle{ a}\) nie zmienia okresowości funkcji. Domyślam się, że napisanie "suma funkcji okresowych jest funkcją okresową" nie wystarczy.

[Premislav]

Niech \(\displaystyle{ x_{1}, x_{2}\in \NN^{+}}\) będą okresami podstawowymi \(\displaystyle{ f(x), \ g(x)}\) odpowiednio. Spróbuj wykazać, że \(\displaystyle{ \text{NWW}(x_{1},x_{2})}\) jest okresem funkcji \(\displaystyle{ h(x)=f(x)+ag(x)}\). Następnie wykaż, że jeśli \(\displaystyle{ y\in \NN^{+}}\) jest okresem \(\displaystyle{ h}\), to \(\displaystyle{ x_{1}, \ x_{2}}\) dzielą jednocześnie \(\displaystyle{ y}\).

Dodano po 3 minutach 3 sekundach:
Właściwie to trochę mało edukacyjne podejście, ale jest to konsekwencja tego, jak myślałem o tym zadaniu: najpierw zgadłem odpowiedź, a potem pomyślałem o udowodnieniu, że została ona poprawnie odgadnięta.

[a4karo]

Ten argument nie do końca rozwiązuje sprawę : `f-f` podobnie jak `\sin^2+\cos^2 ` nie mają okresu podstawowego, a okresem podstawowym `\sin 2\pi x+\cos 2\pi x` nie jest jedynka.

Natomiast stwierdzenie, że suma funkcji okresowych jest okresowa nie jest prawdziwe.

Dodano po 18 minutach 46 sekundach:
Łatwo można dla dowolnego naturalnego `n` skonstruować dwie funkcje o okresie `1`, których suma będzie miała okres podstawowy `1/n`

[Niepokonana]

Ten argument nie do końca rozwiązuje sprawę : `f-f` podobnie jak `\sin^2+\cos^2 ` nie mają okresu podstawowego, a okresem podstawowym `\sin 2\pi x+\cos 2\pi x` nie jest jedynka.

Z całym szacunkiem, ale nie mam pojęcia, co Pan napisał w swoim poście.

[a4karo]

Już spieszę z wyjasnieniami:

Jak słusznie zauważył Premislaw, jeżeli naturalne `x_1` jest okresem podstawowym `f` a takież `x_2` jest okresem podstawowym `g`, to `NWW(x_1,x_2)` jest okresem `f+ag`.

W drugą stronę jego rozumowanie już nie działa: okres podstawowy może nie istnieć (podałem dwa przykłady) ani nie musi być liczbą naturalną (to trzeci podany przeze mnie przykład).

W swoim wywodzie stwierdziłaś dwie rzeczy: że suma dwóch funkcji okresowych jest okresowa - to nie jest prawdą
Oraz że pomnożenie przez `a` nie wpływa na okres: to też nie jest prawdą.

Kontrprzykład do pierwszego stwierdzenia:
Niech `f(x)=\{x\}`, `g(x)=\{\sqrt{2}x\}` (`\{\}` to część ułamkowa).
Obie funkcje są okresowe (zadanie dla Ciebie: znajdź ich okresy) a suma nie jest okresowa (zostawiam Tobie wykazanie tego faktu - wsk: znajdź miejsca zerowe jest funkcji)

Co do drugiego stwierdzenia:
Funkcje `f(x)=\sin^2\pi x` i `g(x)=\cos^2 \pi x` mają okres `1`, funkcja `f(x)-g(x)` ma okres `1/2`, a okresem funkcji `f(x)+g(x)` jest każda liczba różna od zera.

[pkrwczn]

Dzień dobry

Proszę o pomoc z prostym zadaniem. Ja rozumiem, dlaczego tak jest, ale nie umiem tego ładnie napisać słowami.
...

Zadanie jest truu(2020!)dne.

Tylko dlaczego wyrzycamy zero? Tzn, dlaczego \(\displaystyle{ a\in \mathbb R \setminus \{0\}}\) a nie \(\displaystyle{ a\in \mathbb R \cup \{0\}}\). Bardzo ciekawe zadanie.

Może jeśli istnieją \(\displaystyle{ b}\) i \(\displaystyle{ c}\) rzeczywiste takie, że \(\displaystyle{ \frac{f}{g+c}=b }\) to mamy przypadek trywialny i okres h jest taki sam albo zero, a w przeciwnym przypadku:

Niech \(\displaystyle{ x_{1}, x_{2}\in \NN^{+}}\) będą okresami podstawowymi \(\displaystyle{ f(x), \ g(x)}\) odpowiednio. Spróbuj wykazać, że \(\displaystyle{ \text{NWW}(x_{1},x_{2})}\) jest okresem funkcji \(\displaystyle{ h(x)=f(x)+ag(x)}\). Następnie wykaż, że jeśli \(\displaystyle{ y\in \NN^{+}}\) jest okresem \(\displaystyle{ h}\), to \(\displaystyle{ x_{1}, \ x_{2}}\) dzielą jednocześnie \(\displaystyle{ y}\).
...

Podoba mi się to, bo wygląda banalnie na pierwszy rzut oka a jednak jest skomplikowane. Ma pani może źródło, z jakiej książki?

[a4karo]

To nie jest skomplikowane, tylko nieprawdziwe.
Co prawda przykład, który podałem wcześniej jest nieprawdziwy - przepraszam. Funkcja `-\cos 2\pi x=\sin^2\pi x-\cos^2\pi x` też ma okres `1` a nie `1/2`. Przykład jest zły, więc muszę skonstruować inny.

Niech
\(\displaystyle{ f(x)=\begin{cases}|\sin \pi x|& \text{dla } 0\leq x\leq 1\\ 2|\sin \pi x| &\text{dla } 1\leq x\leq 2\end{cases}}\) i \(\displaystyle{ g(x)=\begin{cases}0& \text{dla } 0\leq x\leq 1\\ -|\sin \pi x| &\text{dla } 1\leq x\leq 2\end{cases}}\)

Obie te funkcje rozszerzamy do funkcji o okresie `2`. Funkcja `h_a(x)=f(x)+ag(x)` ma okres podstawowy `2` dla \(a\in \RR\setminus\{1\}\) i okres podstawowy `1` dla `a=1`

Dodano po 1 minucie 55 sekundach:
A zero wyrzucamy bo w tym przypadku `h=f`

[Premislav]

No dobra, bzdurę palnąłem, nie pierwszy raz i nie ostatni. Przepraszam. Za trudna dla mnie ta matematyka, było się trzymać historii.

[pkrwczn]

No dobra, bzdurę palnąłem, nie pierwszy raz i nie ostatni. Przepraszam. Za trudna dla mnie ta matematyka, było się trzymać historii.

Bez przesady. Jak to Rzymianie mawiali:

Mathematikas artas quod cepritensis expeditur vorbidens sunt.

[Niepokonana]

Panowie, ja proszę o pomoc w rozwiązaniu, a nie o jakieś przykłady. Nie rozumiem w ogóle, o co Panom chodzi, co te przykłady mają mi pokazać. Nie znam funkcji \(\displaystyle{ \{ x \}}\). Nic już nie rozumiem.

Dodano po 1 godzinie 9 minutach 10 sekundach:
Ja nie chcę Panów obrazić, ale nie rozumiem, jak wariacje sinusa mają się do tego zadania. A tych funkcji z dziwnymi znaczkami to już w ogóle.
Skąd to zadanie? Zbiór zadań MATeMAtyka do klasy drugiej strona 91 zadanie 16. Miałam wstawić trzy zadania, ale uznałam, że jak zrozumiem jedno, to pozostałe też.

[a4karo]

Pokazujemy Co, że zadanie nie jest prościutkie. Premislav pokazał jak znaleźć jakiś okres, a ja pokazuje, że ze znalezieniem okresu podstawowego już nie jest tak prosto.

[Niepokonana]

Panie a4karo, wierzę Panu na słowo, że jest trudne. A jak to rozwiązać?

[a4karo]

Dowód, że suma jest okresowa pokazał P.

Zagadnienie okresu podstawowego jest tematem na licencjat

[Niepokonana]

Zagadnienie okresu podstawowego jest tematem na licencjat

To znaczy?! Naprawdę? Chyba nieumyślnie zadałam pytanie na poziomie studiów.
W sumie to nie muszę robić tego konkretnego zadania... Aczkolwiek mimo wszystko wolałabym zrobić.

W sensie Premislav napisał to samej górze wątku? Ja widzę, że \(\displaystyle{ NWW(x_{1}, x_{2})}\) będzie tym końcowym okresem, bo jak na przykład weźmiemy sobie funkcję o okresie \(\displaystyle{ 4}\) i zmieszamy ją z taką o okresie \(\displaystyle{ 10}\), to w jednej dziesiątce będzie \(\displaystyle{ 2.5}\) okresu i okresy zgodzą się dopiero przy \(\displaystyle{ 20}\). Tylko jak to sensownie zapisać?
Ja uważam, że dodanie parametru \(\displaystyle{ a}\) nie wpłynie na okresowość, bo przecież \(\displaystyle{ y=\sin x}\) i \(\displaystyle{ y=40\sin x}\) mają takie same okresy. Nie wiem, może źle się zrozumieliśmy, ale ten parametr \(\displaystyle{ a}\) jest przed \(\displaystyle{ g}\) a nie przed \(\displaystyle{ x}\), bo jest \(\displaystyle{ ag(x)}\) a nie \(\displaystyle{ g(ax)}\). Chyba że ja faktycznie nie rozumiem. Tak też sądzę.

[AiDi]

W sumie to nie muszę robić tego konkretnego zadania...

A skąd to zadanie wzięłaś?