To akurat dotyczy wszystkich funkcji i nic tu nie ustaliliśmyNiepokonana pisze: ↑7 sie 2020, o 00:08 Tak jak w zadaniu, że dla dwóch funkcji okresowych o okresach naturalnych ich suma jest funkcją okresową o okresie będącym najmniejszą wspólną wielokrotnością okresów tych dwóch funkcji. Oczywiście nie tyczy się to wszystkich funkcji, co już ustaliliśmy.
Prafraza klasyka:Czyli to po prostu można udowodnić indukcją matematyczną?
Sugerowałem użycie indukcji matematycznej dla dowodu następującego faktu: jeżeli `a` jest okresem funkcji `f`, to dla każdego naturalnego `k` liczba `ka` też jest okresemŻe mnie co podkusiło powiedzieć jej ta indukcja... Niepokonana, ja cofam ta indukcja. Ja cofam wszystkie indukcje na świecie!
Indukcja jest tu naturalną metodą, ale można to zrobić bez niej. Np. tak
Mamy pokazać, że jeżeli dla każdego `x\in\RR` zachodzi
`(*)\ \ \ \ \ \ \ f(x+a)=f(x)`,
to również `f(x+ka)=f(x)`
Napiszmy taki zestaw równości (wynikających z `(*)`)
\begin{align}
f(x)&=f(x+a)\\
f(x+a)&=f(x+2a)\\
f(x+2a)&=f(x+3a)\\
&\vdots\\
f(x+(k-2)a)&=f(x+(k-1)a)\\
f(x+(k-1)a)&=f(x+ka)
\end{align}
Dodając te równości stronami i upraszczając co się da dostajemy tezę.
Jak już to masz, to użyj tego faktu, żeby dokończyć to, co już pisałem trzy razy:
jeżeli `y` jest wspólną wielokrotnością `x_1` i `x_2` (czyli jeżeli istnieją \(\displaystyle{ k
,
l
\in\NN}\)
takie, że
\(\displaystyle{ y
=
k
x_
1
=
l
x_
2}\)), to \(\displaystyle{ y}\) jest okresem funkcji \(\displaystyle{ h
=
f
+
a
g}\)
.
Innymi słowy masz pokazać, że dla każdego `x\in\RR` zachodzi `h(x+y)=h(x)`
W tym celu użyj wskazówki, którą już napisałem