Funkcje okresowe udowodnij że

[a4karo]

Tak jak w zadaniu, że dla dwóch funkcji okresowych o okresach naturalnych ich suma jest funkcją okresową o okresie będącym najmniejszą wspólną wielokrotnością okresów tych dwóch funkcji. Oczywiście nie tyczy się to wszystkich funkcji, co już ustaliliśmy.

To akurat dotyczy wszystkich funkcji i nic tu nie ustaliliśmy

Czyli to po prostu można udowodnić indukcją matematyczną?

Prafraza klasyka:

Że mnie co podkusiło powiedzieć jej ta indukcja... Niepokonana, ja cofam ta indukcja. Ja cofam wszystkie indukcje na świecie!

Sugerowałem użycie indukcji matematycznej dla dowodu następującego faktu: jeżeli `a` jest okresem funkcji `f`, to dla każdego naturalnego `k` liczba `ka` też jest okresem

Indukcja jest tu naturalną metodą, ale można to zrobić bez niej. Np. tak
Mamy pokazać, że jeżeli dla każdego `x\in\RR` zachodzi
`(*)\ \ \ \ \ \ \ f(x+a)=f(x)`,
to również `f(x+ka)=f(x)`

Napiszmy taki zestaw równości (wynikających z `(*)`)
\begin{align}
f(x)&=f(x+a)\\
f(x+a)&=f(x+2a)\\
f(x+2a)&=f(x+3a)\\
&\vdots\\
f(x+(k-2)a)&=f(x+(k-1)a)\\
f(x+(k-1)a)&=f(x+ka)
\end{align}

Dodając te równości stronami i upraszczając co się da dostajemy tezę.

Jak już to masz, to użyj tego faktu, żeby dokończyć to, co już pisałem trzy razy:

jeżeli `y` jest wspólną wielokrotnością `x_1` i `x_2` (czyli jeżeli istnieją \(\displaystyle{ k
,
l
\in\NN}\)
takie, że
\(\displaystyle{ y
=
k
x_
1
=
l
x_
2}\)), to \(\displaystyle{ y}\) jest okresem funkcji \(\displaystyle{ h
=
f
+
a
g}\)
.

Innymi słowy masz pokazać, że dla każdego `x\in\RR` zachodzi `h(x+y)=h(x)`

W tym celu użyj wskazówki, którą już napisałem

[Niepokonana]

Tak się nad tym zastanawiałam.
Dobra, trudno i tak nic nie rozumiem i nic nie umiem.

Mamy dwie funkcje okresowe \(\displaystyle{ f(x)}\) o okresie podstawowym naturalnym \(\displaystyle{ a}\) i \(\displaystyle{ g(x)}\) o okresie podstawowym naturalnym \(\displaystyle{ b}\).
Pan doktor udowodnił, że jednym z okresów funkcji \(\displaystyle{ f(x)}\) jest \(\displaystyle{ ba}\) i wielokrotności \(\displaystyle{ ba, 2ba, 3ba}\) itd., bo \(\displaystyle{ b}\) jest liczbą naturalną. Analogicznie dla \(\displaystyle{ g(x)}\). Czyli dwie funkcje mają wspólny okres. Oczywiście, jeżeli \(\displaystyle{ a}\) i \(\displaystyle{ b}\) nie są względnie pierwsze, to tym okresem nie musi być \(\displaystyle{ ba}\), tylko \(\displaystyle{ NWW(a,b)}\), bo przecież \(\displaystyle{ NWW(a,b)}\) jest podzielne zarówno przez \(\displaystyle{ a}\) jak i \(\displaystyle{ b}\).

Czyli jak mamy \(\displaystyle{ h(x)=f(x)+g(x)}\) to skoro \(\displaystyle{ NWW(a,b)}\) jest okresem zarówno funkcji \(\displaystyle{ f(x)}\) jak i \(\displaystyle{ g(x)}\) to musi być też okresem \(\displaystyle{ h(x)}\), bo okresowość nie znika.

Wiem, pewnie bardzo bardzo bardzo źle i czekam na krytykę. Założenie tego wątku to był głupi pomysł, ale skoro to już zrobiłam, no to muszę to doprowadzić do końca.

[a4karo]

Tak się nad tym zastanawiałam.
Dobra, trudno i tak nic nie rozumiem i nic nie umiem.

No to jak nie rozumiesz, to analizujemy krok po kroku. Zacznijmy od dowodu z mojego ostatniego posta. Co w nim jest niejasne?

Mamy dwie funkcje okresowe \(\displaystyle{ f(x)}\) o okresie podstawowym naturalnym \(\displaystyle{ a}\) i \(\displaystyle{ g(x)}\) o okresie podstawowym naturalnym \(\displaystyle{ b}\).

W treści zadania liczba `a` ma konkretne znaczenie. Nazywanie w ten sposób okresu funkcji `f` MUSI doprowadzić do kolizji.

Pan doktor udowodnił, że jednym z okresów funkcji \(\displaystyle{ f(x)}\) jest \(\displaystyle{ ba}\) i wielokrotności \(\displaystyle{ ba, 2ba, 3ba}\) itd., bo \(\displaystyle{ b}\) jest liczbą naturalną. Analogicznie dla \(\displaystyle{ g(x)}\). Czyli dwie funkcje mają wspólny okres. Oczywiście, jeżeli \(\displaystyle{ a}\) i \(\displaystyle{ b}\) nie są względnie pierwsze, to tym okresem nie musi być \(\displaystyle{ ba}\), tylko \(\displaystyle{ NWW(a,b)}\), bo przecież \(\displaystyle{ NWW(a,b)}\) jest podzielne zarówno przez \(\displaystyle{ a}\) jak i \(\displaystyle{ b}\).

Do analizy tego kawałka wrócimy, jak zrozumiesz co tak naprawdę zostało udowodnione.

Czyli jak mamy \(\displaystyle{ h(x)=f(x)+g(x)}\) to skoro \(\displaystyle{ NWW(a,b)}\) jest okresem zarówno funkcji \(\displaystyle{ f(x)}\) jak i \(\displaystyle{ g(x)}\) to musi być też okresem \(\displaystyle{ h(x)}\), bo okresowość nie znika.

A to jest argument typu: tak jest, bo tak jest. NB, z Twojego rozumowania nie wynika, że `NWW(a,b)` jest okresem

Wiem, pewnie bardzo bardzo bardzo źle i czekam na krytykę. Założenie tego wątku to był głupi pomysł, ale skoro to już zrobiłam, no to muszę to doprowadzić do końca.

Wykonaj pierwszy krok z tego posta

[Niepokonana]

Ja po prostu nie wiem, jak zrobić, żeby nie był to dowód "tak jest, bo tak jest". To dowodzenie zestawem równości rozumiem, to po prostu pętla równań. Jakoś sobie nie wyobrażam, jak miałby wyglądać ten dowód, jeżeli inaczej niż tak, jak napisałam. Dla jasności mój wcześniejszy dowód mnie nie przekonuje.

Dodano po 1 minucie 11 sekundach:
A co do liter to fakt, pomyliłam się, już zapomniałam, że \(\displaystyle{ g(x)}\) ma parametr. Będę musiała wziąć jakieś inne literki.

[a4karo]

Zastanów się, czy gdziekolwiek w dowodzie był wykorzystany fakt, że okres jest liczbą naturalną? A fakt, że ten okres jest okresem podstawowym?

Odpowiedź na oba pytania brzmi NIE. Udowodniony został taki fakt:
Tw. 1 Jeżeli `f: \RR\to\RR` jest funkcją okresową i `a` jest jej okresem, to dla dowolnego naturalnego `k` liczba `ka` też jest okresem funkcji `f`.

Teraz wracamy do zadania. Mamy funkcję `f` o kresie `x_1\in\NN` oraz funkcję `g` o okresie `x_2\in\NN`. Chcemy pokazać, że jeżeli `y` jest wielokrotnością liczb `x_1` i `x_2` (jakąkolwiek, niekoniecznie najmniejszą), to `y` jest okresem funkcji `h=f+ag`.

No to jedziemy: to, że `y` jest wspólną wielokrotnością oznacza, że istnieją liczby naturalne `k,l` takie, że `y=kx_1=lx_2`.

Dla dowolnego `x\in\RR` zachodzi
`h(x+y)=f(x+y)+ag(x+y)=f(x+kx_1)+ag(x+lx_2)`

Potrafisz uzasadnić te równość? Jeżeli tak, to co możesz wpisać zamiast `f(x+kx_1)` i czym możesz zamienić `g(x+lx_2)`? (Tu sie przyda tw. 1)

[Niepokonana]

Chyba nie...
Wiadomo, że drugi i trzeci kawałek równania są sobie równe, bo różnią się tylko zapisem igreka.
Skoro \(\displaystyle{ y}\) to okres obu funkcji to \(\displaystyle{ f(x+y)=f(x)}\) i \(\displaystyle{ g(x+y)=g(x)}\)
W takim razie
\(\displaystyle{ f(x+y)+g(x+y)=f(x)+g(x)=h(x)}\)
Chociaż domyślam się, że nie o to Panu chodziło, bo w przeciwnym razie nie ustalał by Pan tylu znaczków.

[a4karo]

Chyba nie...

??? Przecież pierwsza równość wynika wprost z definicji funkcji `h`

Wiadomo, że drugi i trzeci kawałek równania są sobie równe, bo różnią się tylko zapisem igreka.

Tak

Skoro \(\displaystyle{ y}\) to okres obu funkcji to \(\displaystyle{ f(x+y)=f(x)}\) i \(\displaystyle{ g(x+y)=g(x)}\)

Możesz uzasadnić dlaczego `y` jest okresem obu funkcji? Ja wiem, że to proste, ale
1. wiele razy pod pretekstem "oczywistym jest, że" przemycałaś nieprawdziwe stwierdzenia. Dlatego chcę być pewien, że naprawdę rozumiesz to, co napisałaś
2. Sama napisałaś, że chcesz się nauczyć dowodzenia twierdzeń. Na tym etapie zatem powinnaś każde zwoje stwierdzenia uzasadniać - nawet jeżeli jest proste.

W takim razie
\(\displaystyle{ f(x+y)+g(x+y)=f(x)+g(x)=h(x)}\)
Chociaż domyślam się, że nie o to Panu chodziło, bo w przeciwnym razie nie ustalał by Pan tylu znaczków.

W tym ciągu znaczków chodziło mi o to,żebyś zauważyła taką prostą rzecz:
\(\displaystyle{ \magenta{h(x+y)}=f(x+y)+ag(x+y)=\red{f(x+kx_1)}+\blue{ag(x+lx_2)}=\red{f(x)}+\blue{ag(x)}=\magenta{h(x)}}\)

Dlaczego czerwone jest czerwone, niebieskie niebieskie i co wynika z równości fioletowych rzeczy?

[Niepokonana]

Wiemy, że \(\displaystyle{ y}\) jest okresem obu funkcji, bo \(\displaystyle{ y=kx_{1}}\), gdzie \(\displaystyle{ x_{1}}\) to okres podstawowy funkcji \(\displaystyle{ f(x)}\) a k jest naturalne oraz \(\displaystyle{ y=lx_{2}}\), gdzie \(\displaystyle{ x_{2}}\) to okres podstawowy funkcji \(\displaystyle{ g(x)}\) i l jest naturalne. Pan Kraszewski już udowodnił, że iloczyn liczby naturalnej przez okres podstawowy daje okres.

Czerwone znaczki są sobie równe i niebieskie tak samo. Są sobie równe, więc mają taki sam kolor.

Równość fioletowych znaczków oznacza koniec zadania, bo Pan udowodnił, że funkcja \(\displaystyle{ h(x)}\) ma okres, a więc jest okresowa i tym okresem jest \(\displaystyle{ y}\).

[a4karo]

Wiemy, że \(\displaystyle{ y}\) jest okresem obu funkcji, bo \(\displaystyle{ y=kx_{1}}\), gdzie \(\displaystyle{ x_{1}}\) to okres podstawowy funkcji \(\displaystyle{ f(x)}\) a k jest naturalne oraz \(\displaystyle{ y=lx_{2}}\), gdzie \(\displaystyle{ x_{2}}\) to okres podstawowy funkcji \(\displaystyle{ g(x)}\) i l jest naturalne. Pan Kraszewski już udowodnił, że iloczyn liczby naturalnej przez okres podstawowy daje okres.

JK napisał w tym wątku cztery posty i żaden z nich nie zawiera dowodu, o którym piszesz. Potrzebujesz innego argumentu.

Czerwone znaczki są sobie równe i niebieskie tak samo. Są sobie równe, więc mają taki sam kolor.

Mają taki sam kolor, bo je tak pokolorowałem, a nie dlatego, że są sobie równe. Argument za ich równością podałaś wyżej, choć poparłaś go powołując się na nieistniejący dowód. Może zastanów się po co dowodziliśmy Tw. 1?

Równość fioletowych znaczków oznacza koniec zadania, bo Pan udowodnił, że funkcja \(\displaystyle{ h(x)}\) ma okres, a więc jest okresowa i tym okresem jest \(\displaystyle{ y}\).

Jeszcze trochę. Chciałaś pokazać, że `NWW(x_1,x_2)` jest okresem, więc brakuje jeszcze paru słów (znów - trywialnych, ale niezbędnych)

[Niepokonana]

No więc \(\displaystyle{ y=kx_{1}}\), gdzie \(\displaystyle{ k}\) jest naturalne i \(\displaystyle{ x_{1}}\) jest okresem podstawowym funkcji \(\displaystyle{ f(x)}\) oraz \(\displaystyle{ y=lx_{2}}\) gdzie \(\displaystyle{ l}\) jest naturalne i \(\displaystyle{ x_{2}}\) jest okresem podstawowym funkcji \(\displaystyle{ g(x)}\).
Z definicji funkcji okresowej wiemy, że \(\displaystyle{ f(x)=f(x+x_{1})}\) i co za tym idzie \(\displaystyle{ f(x+2x_{1})=f((x+x_{1})+x_{1})=f(x+x_{1})=f(x)}\) i analogicznie dla każdych wielokrotności \(\displaystyle{ x_{1}}\). Analogicznie z funkcją \(\displaystyle{ g(x)}\) - \(\displaystyle{ g(x)=g(x+x_{2}) }\) \(\displaystyle{ g(x+2x_{2})=g((x+x_{2})+x_{2})=g(x+x_{2})=g(x)}\). Można to rozpisywać dalej \(\displaystyle{ g(x+3x_{2})=g((x+_x{2})+2_x{2})=g(x+2x_{2})}\), ale tyle wystarczy.
Z tej zależności wynika, że wielokrotność okresu podstawowego jest okresem, czyli \(\displaystyle{ kx_{1}}\) jest okresem i \(\displaystyle{ lx_{2}}\) jest okresem dla \(\displaystyle{ k,l \in \mathbb N}\)
Przy czym trzeba jeszcze zaznaczyć, że dla \(\displaystyle{ a\in \mathbb R }\) funkcja okresowa jest nadal okresowa, tylko co najwyżej okres się może zmienić.

Skoro \(\displaystyle{ kx_{1}}\) to okres funkcji \(\displaystyle{ f(x)}\) a \(\displaystyle{ lx_{2}}\) to okres funkcji \(\displaystyle{ g(x)}\) to \(\displaystyle{ f(x)=f(x+kx_{1})}\) i \(\displaystyle{ g(x)=g(x+lx_{2})}\).

Eh, nie wiem, o jakie trywialne słowa chodzi. Przecież \(\displaystyle{ y}\) nie musi być \(\displaystyle{ NWW}\), chociaż jeżeli igrek byłby najmniejszą wspólną wielokrotnością to też by się wszystko zgadzało. Igrek jest jakąś wielokrotnością \(\displaystyle{ x_{1}}\) i \(\displaystyle{ x_{2}}\) i jeżeli jest najmniejszą wielokrotnością, to jest okresem podstawowym \(\displaystyle{ h(x)}\). Bo skoro \(\displaystyle{ f(x+y)=f(x)}\) i \(\displaystyle{ g(x)=g(x+y)}\) to
\(\displaystyle{ h(x+y)=f(x+y)+ag(x+y)=f(x)+ag(x)=h(x)}\) i to należało wykazać.

[a4karo]

OK, to rozumowanie jest poprawne, ale to, co napisałaś, ani to, co napisał JK NIE jest dowodem, a jedynie pomysłem na dowód. Jeżeli chcesz się nauczyć pisać dowody, musisz nauczyć sie formalizowac swoje rozumowania.
Nie bez powodu udowodniliśmy Tw. 1 (ono mówi właśnie tyle, że wielokrotnośc okresu jest okresem). A skoro to zostało udowodnione, to tam, gdzie przywołujesz ten fakt, powinnaś się powołać na to twierdzenie, np. tak: ponieważ `y` jest wielokrotnością `x_1`, więc na mocy Tw. 1 jest również okresem funkcji `f` itd.

Te trywialne słowa to np takie: "skoro dowolna wspólna wielokrotność jest okresem, to w szczególności najmniejsza wspólna wielokrotność nim jest".

Przy czym trzeba jeszcze zaznaczyć, że dla `a\in\RR`
funkcja okresowa jest nadal okresowa, tylko co najwyżej okres się może zmienić.

To zdanie wprowadza chaos do twojego rozumowania: nie wiadomo, czy określenie "funkcja okresowa" dotyczy funkcji `ag(x)`, czy `h=f+ag`, ponadto stwierdzenie że okres może się zmienić sugeruje jakieś dziwne rzeczy, np że okres może się zmienić z `7` na `\sqrt{3}`. Chyba nie o to Ci chodziło.

Bardzo często, gdy piszesz to myślisz o czymś konkretnym i zakładasz (mylnie), że czytelnik będzie wiedział o czym myślisz. A tak przecież nie jest. Myśl głównie o czytelniku, gdy piszesz.

[Niepokonana]

Ja nie doczytałam, bo reklama mi zasłoniła, więc teraz odpowiem.

Na dodatek jesteś przekonana , że Twoja Pani of matematyki się na Ciebie uwzięła, ale prawdą jest że nie wykazujesz inicjatywy - zamiast myśleć samodzielnie i wyciągać wnioski odpowiadasz na zadane pytania i pytasz "co dalej?"

U mnie na lekcjach matematyki nie trzeba mieć żadnej inicjatywy, tylko grzecznie rozwiązywać zadania jedno po drugim, więc się Pan myli. Moja "nauczycielka" nie jest nawet w połowie tak ambitna jak Pan. Przynajmniej jeżeli chodzi o uczniów.
Pańskie słowa są aż nazbyt okrutne, ale no cóż, muszę założyć, że Pan ma po prostu taki sposób bycia.
Przepraszam, że się za mało staram i że wynika to z mojej niewiedzy.

Zupełnie zapomniałam o tym twierdzeniu 1.

Więc wiemy, że \(\displaystyle{ y}\) jest wielokrotnością \(\displaystyle{ x_{1}}\) i \(\displaystyle{ x_{2}}\) czyli liczb będących wielokrotnościami okresów podstawowych funkcji \(\displaystyle{ f(x)}\) i \(\displaystyle{ g(x)}\), czyli liczba \(\displaystyle{ y}\) jest okresem obu tych funkcji na mocy twierdzenia 1.
Skoro dowolna wspólna wielokrotność jest okresem funkcji \(\displaystyle{ h(x)=f(x)+ag(x)}\), to w szczególności najmniejsza wspólna wielokrotność nim jest. Nie wiem, jak to ładniej napisać. Skoro funkcja \(\displaystyle{ h(x)}\) ma okres to jest okresowa.

[a4karo]

OK.

Cała reszta postów w tym wątku dotyczyła tego, że najmniejsza wspólna wielokrotność okresów podstawowych funkcji `f` i `g` nie musi być okresem podstawowym funkcji `h`.

[Niepokonana]

Czyli to już koniec zadania?

Dodano po 2 minutach 49 sekundach:
Ok, dziękuję za pomoc.