Obliczyć dokładną wartość iloczynu

[41421356]

Czy jest jakiś sposób na wyznaczenie wartości iloczynu:

\(\displaystyle{ \sin\frac{\pi}{5}\sin\frac{2\pi}{5}}\)

bez wykorzystywania wartości funkcji trygonometrycznych dla kąta \(\displaystyle{ \frac{\pi}{5}}\), bądź \(\displaystyle{ \frac{\pi}{10}}\)?

[piasek101]

Mam okrężną (prawdopodobnie) drogą :
- umiemy wyznaczyć wartość takiego iloczynu ale cosinusów
- z niego wyznaczymy wartości kosinusów tych kątów, czyli też i sinusów.

[edit] z cosinusem

[41421356]

Jeśli zamienię sinusy na kosinusy to w prosty sposób (korzystając ze wzoru na podwojony sinus) otrzymam, że wartość tego iloczynu wyniesie \(\displaystyle{ ¼}\), czyli wykonam pierwszą Twoją wskazówkę. Natomiast nie bardzo rozumiem tej drugiej wskazówki.

[Dasio11]

Wykorzystamy tożsamość

\(\displaystyle{ \sin(5t) = 16 \sin^5 t - 10 \sin^3 t + 5 \sin t.}\)

Wynika z niej, że wielomian \(\displaystyle{ P(x) = 16 x^5 - 20x^3 + 5x}\) ma dokładnie pięć pierwiastków, a są nimi \(\displaystyle{ \sin \frac{k \pi}{5}}\), gdzie \(\displaystyle{ k = -2, -1, 0, 1, 2}\). Z twierdzenia Bezouta:

\(\displaystyle{ P(x) = 16 \left( x - \sin \frac{-2 \pi}{5} \right)\left( x - \sin \frac{-\pi}{5} \right) x \left( x - \sin \frac{\pi}{5} \right) \left( x - \sin \frac{2 \pi}{5} \right)}\).

Porównując w obu przedstawieniach wyraz stojący przy \(\displaystyle{ x^1}\) i korzystając z nieparzystości sinusa, dostajemy

\(\displaystyle{ 16 \left( \sin \frac{\pi}{5} \sin \frac{2 \pi}{5} \right)^2 = 5}\)

czyli \(\displaystyle{ \sin \frac{\pi}{5} \sin \frac{2 \pi}{5} = \sqrt{\frac{5}{16}}}\).

[41421356]

Dziękuję za ten sposób, dużo wynosi do zadania. Nie używamy tutaj konkretnych wartości funkcji trygonometrycznych dla tychże kątów, o których pisałem. Niemniej jednak chciałem uniknąć wzoru na sinusa pięciokrotności kąta (w pierwszej linijce wkradła się drobna literówka), bo z niego już w prosty sposób mamy wartości trygonometryczne tych kątów. Ja próbowałem tak:

\(\displaystyle{ \cos\frac{\pi}{5}\cos\frac{2\pi}{5}=\frac{1}{4}\\
\cos^2\frac{\pi}{5}\cos^2\frac{2\pi}{5}=\frac{1}{16}\\
\left(1-\sin^2\frac{\pi}{5}\right)\left(1-\sin^2\frac{2\pi}{5}\right)=\frac{1}{16}\\
\sin^2\frac{\pi}{5}\sin^2\frac{2\pi}{5}=-\frac{15}{16}+\sin^2\frac{\pi}{5}+\sin^2\frac{2\pi}{5}
}\)

No i jak pokazać teraz, że

\(\displaystyle{ \sin^2\frac{\pi}{5}+\sin^2\frac{2\pi}{5}=\frac{5}{4}}\)

?

[piasek101]

Natomiast nie bardzo rozumiem tej drugiej wskazówki.

Patrz na równanie (ostatnie pod linkiem jaki podałem) - z niego wyznaczamy cosinusa \(\displaystyle{ 36^0}\).

[41421356]

Natomiast nie bardzo rozumiem tej drugiej wskazówki.

Patrz na równanie (ostatnie pod linkiem jaki podałem) - z niego wyznaczamy cosinusa \(\displaystyle{ 36^0}\).

Ale ja nie chcę wyznaczać tej wartości. Pisałem o tym na początku wątku.

[piasek101]

bez wykorzystywania wartości funkcji trygonometrycznych dla kąta \(\displaystyle{ \frac{\pi}{5}}\), bądź \(\displaystyle{ \frac{\pi}{10}}\)?

Uznałem, że chodzi o to aby nie brać gotowych wartości tych funkcji.

[41421356]

Cieszę się, że to już jest jasne. Pytanie brzmi czy da się to policzyć wykorzystując bardziej elementarne wzory jak na przykład sinus podwojonego kąta itp.

[piasek101]

No i jak pokazać teraz, że
\(\displaystyle{ \sin^2\frac{\pi}{5}+\sin^2\frac{2\pi}{5}=\frac{5}{4}}\)
?

Mam to za pomocą klasycznych zależności i iloczynu cosinusów wyznaczonego wcześniej. Prawdopodobnie jest coś krótszego (łatwiejszego).
,,Problemem" może okazać się napisanie tego w tex-u, więc w skrócie (jak nie pomoże to Ci całe na PW w sposób uproszczony napiszę) :
oznaczmy (dla wygody) sinusy kątów z zadania jako \(\displaystyle{ s1}\) oraz \(\displaystyle{ s2}\), a cosinusy \(\displaystyle{ c1}\) oraz \(\displaystyle{ c2}\) (czyli podwojony argument c1), do tego cosinusa kąta \(\displaystyle{ 108^0}\) jako \(\displaystyle{ c3}\) (czyli potrojony argument c1).
Wtedy :
\(\displaystyle{ 0=c2-c2}\) czyli

\(\displaystyle{ 0=c2+c3}\)

\(\displaystyle{ -c2=c3}\) wstawiamy zależności na cosinusy podwojonego i potrojonego argumentu, jest

\(\displaystyle{ -(2c^2 1 -1)=4c^3 1-3c1}\)
...
\(\displaystyle{ -4c^3 1-2c^2 1 + 3c1+1=0|\cdot c1}\)
...
\(\displaystyle{ 4c^2 1- 4c^4 1=c^2 1+2 c^3 1-c1}\)

\(\displaystyle{ 4(1-c^2 1)\cdot c^2 1=c^2 1+c1(2c^2 1-1)}\)

\(\displaystyle{ 4\cdot s^2 1\cdot c^2 1=c^2 1 + c1\cdot (2c^2 1-1)}\)

\(\displaystyle{ s^2 2 = c^2 1 + c1\cdot c2|}\) dodajemy do obu stron \(\displaystyle{ s^2 1}\)

\(\displaystyle{ s^2 1+s^2 2=(s^2 1+ c^2 1) + c1\cdot c2}\)

\(\displaystyle{ s^2 1+s^2 2=1+0,25}\) (pomimo uproszczenia zapisu i tak się zmęczyłem)
Oczywiście można to napisać od końca - ja właśnie tak robiłem.

[41421356]

Dziękuję za pomoc, trochę z tym roboty jednak jest.

[Dasio11]

A tak zapytam - co jest nieelementarnego we wzorze na sinus pięciokrotnego kąta, skoro można go otrzymać ze wzoru na sinus i cosinus sumy?

[41421356]

Nie ma go w tablicach maturalnych

[kruszewski]

Zauważmy, że miary kątów korespondują z miarami kątów w pentagramie pitagorejskim w którym długości odcinków wyrażane w relacji do złotej liczby \(\displaystyle{ \varphi}\) określanej bez wyrażeń trygonometrycznych.
Przyjmując oznaczenia jak na załączonym rysunku możemy napisać:
\(\displaystyle{ \sin 36^o = \frac{a}{2R_o}}\) gdzie promień okręgu opisanego na pięciokącie foremnym dany jest wzorem : \(\displaystyle{ R_o = \frac{a}{ \sqrt{3- \varphi} } }\) zaś \(\displaystyle{ a}\) jest bokie pięciokąta.
Możemy więc napisać
\(\displaystyle{ \sin 36^o = \frac{ \sqrt{3- \varphi} }{2} }\)
oraz :
\(\displaystyle{ \sin72^o = \frac{ \frac{\varphi a}{2} }{R_o} = \frac{\varphi}{2} \cdot \sqrt{3- \varphi} }\)

Iloczyn tych dwu sinusów: \(\displaystyle{ \sin 36^o \cdot \sin 72^o = \frac{\varphi}{4} (3 - \varphi) }\)

gdzie \(\displaystyle{ \varphi = \frac{1+ \sqrt{5} }{2} }\)