Jeżeli znamy długość boku \(\displaystyle{ a_{n} }\) wielokąta foremnego o \(\displaystyle{ n, \ \ n\geq 3 }\) bokach wpisanego w koło jednostkowe, to możemy obliczyć wartości funkcji trygonometrycznych kąta \(\displaystyle{ \frac{\pi}{n}. }\) Przyjmijmy za ramię początkowe - promień dzielący na połowy bok \(\displaystyle{ n }\) kąta wpisanego w koło o promieniu \(\displaystyle{ r = 1. }\) Wówczas długość odcinka \(\displaystyle{ \frac{a_{n}}{2} }\) będzie wartością sinusa kąta \(\displaystyle{ \frac{\pi}{n}, }\) a odcinek długości \(\displaystyle{ l_{n} = \sqrt{1 - \frac{a^2_{n}}{4}} }\) wartością kosinusa. tego kata.
\(\displaystyle{ \sin\left(\frac{\pi}{n}\right) = \frac{a_{n}}{2}, \ \ \cos\left(\frac{\pi}{n}\right) = \sqrt{1 - \frac{a^2_{n}}{4}}. }\)
a)
Dla \(\displaystyle{ n = 3 }\) mamy \(\displaystyle{ a_{3} = \sqrt{3} , \ \ l_{3} = \frac{1}{2}. }\)
\(\displaystyle{ \sin\left(\frac{\pi}{3}\right) = \sin(60^{o}) = \frac{\sqrt{3}}{2}, \ \ \cos\left(\frac{\pi}{3} \right) = \frac{1}{2}, \ \ tg \left(\frac{\pi}{3}\right) = \sqrt{3}. }\)
b)
Dla \(\displaystyle{ n = 4, \ \ a_{4} = \sqrt{2}, \ \ l_{4} = \frac{1}{\sqrt{2}}, \ \ \sin(\left(\frac{\pi}{4}\right) = \sin(45^{o}) = \frac{1}{\sqrt{2}}, \ \ \cos \left(\frac{\pi}{4}\right) = \frac{1}{\sqrt{2}}, \ \ \tg\left(\frac{\pi}{4} \right) = 1.}\)
c)
\(\displaystyle{ n = 5, \ \ a_{5} = \sqrt{\frac{5 - \sqrt{5}}{2}}, \ \ l_{5} = \frac{1}{2}\sqrt{\frac{3 +\sqrt{5}}{2}}, \ \ \sin\left(\frac{\pi}{5}\right) = \sin(36^{o}) = \frac{1}{2}\sqrt{\frac{5 -\sqrt{5}}{2}}, \ \ \cos \left(\frac{\pi}{5} \right) =\frac{\sqrt{5}+1}{4}, \ \ \tg\left(\frac{\pi}{5}\right) =\frac{2\sqrt{5 -\sqrt{5}}}{\sqrt{2}(\sqrt{5}+1)}.}\)
d)
\(\displaystyle{ n = 6, \ \ a_{6} = 1, \ \ l_{6} = \frac{\sqrt{3}}{2}, \ \ \sin\left(\frac{\pi}{6}\right) = \sin(30^{o}) = \frac{1}{2}, \ \ \cos\left(\frac{\pi}{6}\right) = \frac{\sqrt{3}}{2}, \ \ \tg \left(\frac{\pi}{6}\right) = \frac{1}{\sqrt{3}}.}\)
e)
\(\displaystyle{ n = 8, \ \ a_{8} = \sqrt{ 2 -\sqrt{2}}, \ \ l_{8} = \frac{\sqrt{2 +\sqrt{2}}}{2}, \ \ \sin\left(\frac{\pi}{8}\right) = \sin(22^{o},30^{'}) = \frac{\sqrt{2 -\sqrt{2}}}{2},\ \ \cos\left(\frac{\pi}{8}\right) = \frac{\sqrt{2 +\sqrt{2}}}{2}, \ \ \tg\left( \frac{\pi}{8}\right) = \sqrt{2} -1.}\)
f)
\(\displaystyle{ n =10, \ \ a_{10}= \frac{\sqrt{5}- 1}{2}, \ \ l_{10} = \frac{1}{2}\sqrt{\frac{5 +\sqrt{5}}{2}}, \ \ \sin\left(\frac{\pi}{10}\right) = \sin(18^{o}) = \frac{\sqrt{5}-1}{4}, \ \ \cos\left(\frac{\pi}{10}\right) = \frac{1}{2}\sqrt{\frac{5 +\sqrt{5}}{2}}, \ \ \tg\left(\frac{\pi}{10}\right) = \sqrt{\frac{5 - 2\sqrt{5}}{5}}.}\)
g)
\(\displaystyle{ n = 12, \ \ a_{12} = \sqrt{2 - \sqrt{3}}, \ \ l_{12}= \frac{\sqrt{2 +\sqrt{3}}}{2}, \ \ \sin\left( \frac{\pi}{12}\right) = \sin(15^{o})= \frac{\sqrt{2-\sqrt{3}}}{2}, \ \ \cos\left(\frac{\pi}{12}\right)= \frac{\sqrt{2 +\sqrt{3}}}{2}, \ \ \tg\left(\frac{\pi}{12}\right) = 2 -\sqrt{3}.}\)
Na podstawie wartości powyższych funkcji trygonometrycznych można wyznaczyć wartości funkcji kątów dopełniających do miary kąta prostego.
h)
\(\displaystyle{ \frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{5} = \frac{3}{10}\pi. }\)
\(\displaystyle{ \sin\left( \frac{3\pi}{10}\right) = \sin(54^{o}) = \cos\left(\frac{\pi}{5}\right) = \frac{\sqrt{5} +1}{4}. }\)
\(\displaystyle{ \cos\left( \frac{3\pi}{10}\right) = \sin\left(\frac{\pi}{5}\right) = \frac{1}{2}\sqrt{ \frac{5 -\sqrt{5}}{2}}.}\)
\(\displaystyle{ \tg \left(\frac{3\pi}{10}\right) = \frac{\sqrt{5 + 2\sqrt{5}}}{2}.}\)
i)
\(\displaystyle{ \frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{10} = \frac{2\pi}{5}. }\)
\(\displaystyle{ \sin\left(\frac{2\pi}{5}\right) = \sin(72^{o}) = \cos\left(\frac{\pi}{10}\right) = \frac{1}{2}\sqrt{\frac{5+\sqrt{5}}{2}}.}\)
\(\displaystyle{ \cos\left(\frac{2\pi}{5}\right) = \sin\left(\frac{\pi}{10}\right) = \frac{\sqrt{5} -1}{4}.}\)
\(\displaystyle{ \tg\left(\frac{2\pi}{5}\right) = \sqrt{5 + 2\sqrt{5}}. }\)
j)
\(\displaystyle{ \frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{12} = \frac{5\pi}{12}.}\)
\(\displaystyle{ \sin\left(\frac{5\pi}{12}\right)= \sin(75^{o} ) = \cos\left(\frac{\pi}{12}\right) = \frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4} }\)
\(\displaystyle{ \cos\left(\frac{5\pi}{12} \right) = \sin\left(\frac{\pi}{12}\right) = \frac{\sqrt{5}-1}{4}.}\)
\(\displaystyle{ \tg\left(\frac{5\pi}{12}\right) = 2 + \sqrt{3}.}\)
Opracowano na podstawie książki S.I. Nowosiołow Specjalny wykład trygonometrii. PWN Warszawa 1956.