Pięciokąt wpisany w okrąg

[Niepokonana]

Dzień dobry
Ostatnio wzięłam się za nadrabianie trygonometrii, bo w roku szkolnym niestety nie przyłożyłam się wystarczająco. Proszę o pomoc z zadaniem, bo nie rozumiem, czemu mój tok myślenia jest błędny.

Zadanie 15 ze strony 84 ze zbioru zadań MATeMAtyka Nowej Ery.

Kod: Zaznacz cały

https://imgur.com/a/ddBDfpQ

Mamy okrąg o promieniu \(\displaystyle{ r=1}\) i środku w punkcie \(\displaystyle{ O(0,0)}\). Wpisano do niego pięciokąt foremny. Mamy dane dwa odcinki \(\displaystyle{ H= \sqrt{ \frac{ 5+ \sqrt{5}} {8}}}\) i \(\displaystyle{ h= \sqrt{ \frac{5- \sqrt{5} }{8} } }\).

a) Oblicz wartości funkcji trygonometrycznych \(\displaystyle{ \sin,\cos,\tg}\) i \(\displaystyle{ \ctg}\) dla kątów \(\displaystyle{ 72^\circ,144^\circ,216^\circ,288^\circ}\).

b) Narysuj odbicie symetryczne tego pięciokąta względem osi \(\displaystyle{ OY}\) i oblicz wartości \(\displaystyle{ \sin,\cos,\tg}\), \(\displaystyle{ \ctg}\) dla kątów \(\displaystyle{ 36^\circ, 108^\circ,252^ \circ}\) i \(\displaystyle{ 324^ \circ}\).

Domyślam się, że podpunkt b) jest analogiczny i to odwrócenie ma tylko sprawić, żeby wszystkie wartości dla \(\displaystyle{ 36\circ}\) były dodatnie.

Podpunkt a). Jako że \(\displaystyle{ r=1}\), to sinus kąta \(\displaystyle{ 72^\circ}\) to po prostu długość odcinka \(\displaystyle{ H}\). Na podstawie tego wyliczam pozostałe funkcje dla tego kąta.
Zauważam, że kąty \(\displaystyle{ 72^\circ}\) i \(\displaystyle{ -288^\circ}\) mają takie samo ramię końcowe, więc \(\displaystyle{ \sin288^\circ = -\sin72^\circ}\) i \(\displaystyle{ \cos288^\circ =\cos 72^\circ}\), z \(\displaystyle{ \ctg}\) i \(\displaystyle{ \tg}\) jest podobnie jak z sinusem.
Do tego momentu rozumiem. Ale jak policzyć sinus kąta \(\displaystyle{ 144^\circ}\)? Tutaj jakoś wzór na sinus podwojonego kąta nie działa albo ja coś źle robię. To jak to policzyć? Wykorzystać fakt, że mamy tu kąt środkowy, czy że możemy policzyć sinus kąta \(\displaystyle{ 36^\circ}\) a \(\displaystyle{ 36^\circ +144^\circ =180^\circ}\)? Prawdę mówiąc, to ja nie wiem, o co chodzi z kątami środkowymi.

[piasek101]

Stosujesz jakieś skróty myślowe - np. dotyczące \(\displaystyle{ 36}\) : ,,żeby wszystkie wartości dla 36∘ były dodatnie" - przecież one zawsze są dodatnie.
Lepiej napisz jakie masz poszczególne wyniki - ktoś sprawdzi.
Co do \(\displaystyle{ 144}\) - wzór na sinus podwojonego kąta ,,działa".

[Dilectus]

Patrz rysunek

ad a)

\(\displaystyle{ \cos 72= \frac{H}{r}= ...... }\)

\(\displaystyle{ \sin 72= \sqrt{1-\cos^272}= ..... }\)

\(\displaystyle{ \tg 72 = \frac{\sin 72}{\cos 72}=..... }\)

\(\displaystyle{ \ctg 72 = \frac{\cos 72}{\sin 72}=.... }\)

Jak to policzysz, to zauważ,że \(\displaystyle{ 144=2\cdot 72; \quad 216=3 \cdot 72; \quad 288 = 4 \cdot 72}\)

po czym zastosuj wzory na funkcje trygonometryczne wielokrotności danego kąta.


ad b)

Narysuj to symetryczne odbicie i zrób wszystko analogicznie.

[piasek101]

Patrz rysunek
ad a)
\(\displaystyle{ \cos 72= \frac{H}{r}= ...... }\)

I od tego momentu się posypało.

[Niepokonana]

Dzięki Dilectus, ale dla kąta \(\displaystyle{ 72^\circ}\) umiem policzyć. Problem tkwił z kątem \(\displaystyle{ 144^\circ}\).
Nie używam skrótów myślowych, miałam na myśli, że dla kątów \(\displaystyle{ 72^\circ}\) i \(\displaystyle{ 288^\circ}\) umiem.
Skoro działa to spróbujmy.
\(\displaystyle{ \sin 72 ^\circ = \sqrt{ \frac{5+ \sqrt{5} }{8} } }\)
\(\displaystyle{ \cos 72^\circ = \sqrt{ \frac{3- \sqrt{5} }{8} }}\)
\(\displaystyle{ \sin 144^ \circ =2\cos 72^\circ \sin 72^\circ = 2\sqrt{ \frac{5+ \sqrt{5} }{8} }\sqrt{ \frac{3- \sqrt{5} }{8} }=}\)
\(\displaystyle{ =2 \sqrt{ \frac{(5+ \sqrt{5})(3- \sqrt{5} }{64} } = 2 \sqrt{ \frac{15-5 \sqrt{5}+3 \sqrt{5}-5 }{64} } =}\)
\(\displaystyle{ =2 \sqrt{ \frac{10-2 \sqrt{5} }{64} } = \sqrt{ \frac{5- \sqrt{5} }{8} } }\)
Faktycznie... Znowu zrobiłam wątek niepotrzebnie.

[janusz47]

Czy \(\displaystyle{ \frac{H}{r} = \cos(72^{o}) }\) (patrz rysunek)?

\(\displaystyle{ \cos(72^{o}) = \frac{\sqrt{5} -1}{4} \neq \frac{\sqrt{\frac{5 +\sqrt{5}}{8}}}{1}= \sqrt{\frac{5 +\sqrt{5}}{8}} = \frac{H}{r} }\)

Co to jest kosinus kąta w trójkącie prostokątnym?

[Niepokonana]

Nie możemy od razu policzyć cosinusa, najpierw sinus! Mój obrazek nie jest zbyt ładny, ale odcinki są dobrze ustawione.
Niechcący zaspamiłam forum.

[Dilectus]

Patrz rysunek
ad a)
\(\displaystyle{ \cos 72= \frac{H}{r}= ...... }\)

I od tego momentu się posypało.

Dziękuję, Piasku. Oczywiście przejęzyczyłem się. Powinno być:

\(\displaystyle{ \sin 72= \frac{H}{r}= ...... }\)

Niepokonana, wybacz mi, proszę, to przejęzyczenie.

[Niepokonana]

Nie gniewam się.

[Dilectus]

Rozwiązałaś wszystko?

[Niepokonana]

W sumie to nie, ale myślę, że skoro można użyć wzoru na sinus podwojonego kąta, to sobie poradzę. Teraz myślę nad innym zadaniem.

[Dilectus]

A nad jakim? - Umieram z ciekawości.

[Niepokonana]

Serio? O.O
Zadanie bardziej z ciągów aniżeli z trygonometrii, proste, ale robię jakiś błąd w obliczeniach.

[kruszewski]

Mam wrażenie, że odpowiedź można podać jako relację złotej liczby \(\displaystyle{ \varphi = \frac{ \sqrt{5 +1} }{2}. }\)
dla określena której nie używa się funkcji trygonometrycznych.

[janusz47]

\(\displaystyle{ \phi = \frac{\sqrt{5} +1}{2}. }\)