Pięciokąt wpisany w okrąg

[Niepokonana]

Mam wrażenie, że odpowiedź można podać jako relację złotej liczby \(\displaystyle{ \varphi = \frac{ \sqrt{5 +1} }{2}. }\)
dla określena której nie używa się funkcji trygonometrycznych.

Nie rozumiem. O co chodzi z tą złotą liczbą? Ona jest z ciągu Fibonacciego, prawda?

[Dilectus]

Serio? O.O
Zadanie bardziej z ciągów aniżeli z trygonometrii, proste, ale robię jakiś błąd w obliczeniach.

Pokaż.

[kruszewski]

Ale i napisałem erratę do niego.
Że zamiast: \(\displaystyle{ { \varphi = \frac{ \sqrt{5+1}}{2} }}\)
ma być:
\(\displaystyle{ \varphi = \frac{ \sqrt{5} +1 }{2} }\)
i za ten błąd napisu przeprosiłem dziękując p. januszowi47 za zwrócenie mi nań uwagi.
W.Kr.

[janusz47]

Przeciągnięcie } w zapisie sqrt , za które nie ma co dziękować.

[Niepokonana]

Ale o co chodzi z tą złotą liczbą?

[janusz47]

Złota liczba \(\displaystyle{ \phi = \frac{1 +\sqrt{5}}{2} }\) nazywana jest liczbą Fidiasza na cześć rzeźbiarza greckiego Fidiasza (490 p.n.e. - 430 p.n.e.), który w swych rzeźbach stosował złotą proporcję.

Co to jest złota proporcja (doskonała proporcja)?

Jeśli mamy dany prostokąt o bokach \(\displaystyle{ a, \ \ b, \ \ a < b, }\) to powstaje pytanie, jaki powinien być stosunek długości boków \(\displaystyle{ \frac{b}{a} }\), aby po odcięciu od niego kwadratu o boku \(\displaystyle{ a }\) pozostał prostokąt podobny (proporcjonalny) do prostokąta wyjściowego.

Proporcjonalność prostokątów oznacza, że spełniona jest równość

\(\displaystyle{ \frac{b}{a} = \frac{a}{b-a}. }\)

Przyjmując \(\displaystyle{ \frac{b}{a} = \phi, }\) otrzymujemy równość \(\displaystyle{ \phi = \frac{1}{\phi -1} }\) lub \(\displaystyle{ \phi^2 = \phi +1.}\)

Liczba \(\displaystyle{ \phi }\) jest dodatnim rozwiązaniem tego równania.

Można wykazać, że długość boku dziesięciokąta foremnego \(\displaystyle{ a_{10} = \frac{\sqrt{5}-1}{2} = \frac{1}{\phi}. }\)

Więcej wiadomości na ten temat znajduje się na przykład w książce: Aleksander Błaszczyk, Sławomir Turek: Matematyka. Od podstaw do elementów matematyki wyższej. PWN SA Warszawa 2015.

[Dilectus]

Niepokorna, looknij:

Kod: Zaznacz cały

https://www.youtube.com/watch?v=wb7kPaM8cfg

Kod: Zaznacz cały

https://www.youtube.com/watch?v=P1ULysfArDQ