Matematyka.pl

Ma Pan rację, ale ja te zadania muszę umieć.

Niepokonana pisze: ↑23 mar 2020, o 20:04 Ma Pan rację, ale ja te zadania muszę umieć.

No to z czasem się nauczysz. Oceny które dostajesz są kompletnie nieistotne.

Ale wszyscy/prawie wszyscy w klasie już to rozumieją i ja jestem ostatnia.

Dodano po 3 minutach 56 sekundach:
Ja nie chcę być najgorsza.

Walcz, walcz. I staraj się zrozumieć, co robisz - także tutaj nie ma drogi na skróty (nie ulegaj tej pokusie).

JK

Ale inni umieją, więc to musi być proste, więc jak to się robi, Panie doktorze? Oczywiście moja "nauczycielka" nie chce mi tego powiedzieć.

\(\displaystyle{ \sin^{2} 2x +6\sin ^{2}x =6}\)
\(\displaystyle{ \sin ^{2} 2x=6(1-\sin ^{2}x)}\)
\(\displaystyle{ 4\sin ^{2}x\cos ^{2}x =6\cos ^{2} x}\)
No i zrobiłam błąd, znowu. A ja to miałam umieć na dzisiaj. ;-;

Na razie nie ma błędu, dobrze robisz. Przenieś wszystko na jedną stronę, wyłącz \(\displaystyle{ 2\cos^2x}\) przed nawias, dostaniesz dwa przypadki. Co niby jest niedobrze?

JK

To to się nie skróci?
A, jak na dwa przypadki to to umiem.

Niepokonana pisze: ↑24 mar 2020, o 14:39To to się nie skróci?

Pamiętaj, nie wolno skracać przez wyrażenie, które może być zerem.

JK

Jan Kraszewski pisze: ↑24 mar 2020, o 16:04

Niepokonana pisze: ↑24 mar 2020, o 14:39To to się nie skróci?

Pamiętaj, nie wolno skracać przez wyrażenie, które może być zerem.

JK

Pan doktor ma rację.
A jak rozwiązać takie coś? \(\displaystyle{ \frac{1+\tg x}{1-\tg x}=1+\sin 2x }\)
Napisałam dziedzinę i po paru przekształceniach doszłam do takiej postaci. \(\displaystyle{ \frac{\cos x +\sin x}{\cos x-\sin x} =1+\sin 2x}\) Nie wiem, co z tym dalej zrobić.

Dziedzina: \(\displaystyle{ x\neq \frac{\pi}{2}+k\pi, \ x\neq\frac{\pi}{4}+k\pi, \ k\in\ZZ}\). Zauważmy, że \(\displaystyle{ 1+\sin 2x=\sin^{2}x+\cos^{2}x+2\sin x\cos x=(\sin x+\cos x)^{2}}\)
Rozważmy dwa przypadki:
1) \(\displaystyle{ \sin x+\cos x=0}\), to raczej umiesz rozwiązać;
2) \(\displaystyle{ \sin x+\cos x\neq 0}\), wtedy możesz podzielić stronami przez to wyrażenie i zostaje:
\(\displaystyle{ \frac{1}{\cos x-\sin x}=\sin x+\cos x}\)
Mnożysz przez mianownik, zauważasz wzór na kosinus podwojonego kąta i zrobione.

Ja to wszystko na pałę wymnozylem i wyszło

Też na początku o tym myślałam, ale to zbytnio skomplikowałoby sprawę.

Zauważyłem, że jak w równaniu pojawiają się ze cztery składniki, to zaczynasz się tego równania bać. Niesłusznie.
Zauważmy najpierw trzy rzeczy:
\(\displaystyle{ \cos x\neq 0}\) (to z powody tangensa)
Jeżeli \(\displaystyle{ \sin x= 0}\) to \(x=k\pi\) jest rozwiązaniem równania
\(\displaystyle{ \sin x\neq \cos x}\) (to z powodu, że tangens jest różny od jedynki).

Zatem możemy założyć, że \(x\neq k\pi\) i dzielić i mnożyć bez obawy przez \(\sin x,\ \cos x\) i \(1-\tan x\)
\begin{align}
1+\tan x&=1-\tan x +(1-\tan x)\sin 2x\\
2\tan x&=\frac{2\sin x\cos x(\cos x-\sin x)}{\cos x}\\
\frac{2\sin x}{\cos x}&=\frac{2\sin x\cos x(\cos x-\sin x)}{\cos x}\\
1&=\cos x(\cos x-\sin x)\\
\cos^2x+\sin ^2x&=\cos^2x-\sin x\cos x\\
\sin x(\sin x+\cos x)&=0\\
\left(\sin x+\sin\left(\pi/2-x\right)\right)&=0
\end{align}
Teraz wzór na sumę sinusów i juź.

No dobrze, dziękuję, ma Pan rację, ale sposób Premislava jest krótszy.
To jeszcze nie koniec.