Równania trygonometryczne

[Niepokonana]

Witam
Proszę o pomoc, ja naprawdę nie rozumiem tego tematu. Jak się wyprowadza wzory redukcyjne? Jak się to robi? Potrzebuję szczegółowych wyjaśnień.

Przykładowo "rozwiąż równania":
\(\displaystyle{ \frac{\tg x +\sin x}{\tg x - \sin x} = 4 \cos ^{2} \frac{x}{2} }\)
\(\displaystyle{ \sin ^{2}x+\sin ^{2} 2x=\sin ^{2} 3x +\sin ^{2} 4x}\)
Nie chodzi mi o te konkretne przykłady, tylko jak w ogóle to zrobić i skąd brać wzory.

[Premislav]

Nie umiem odpowiadać na tak ogólne pytania, za głupi jestem. No z głowy, ew. z kart wzorów.

Pierwsze: najpierw dziedzina, tj. \(\displaystyle{ \tg }\) musi być określony, zatem \(\displaystyle{ x\neq \frac{\pi}{2}+k\pi}\), poza tym mianownik po lewej nie może być zerem, więc nie może zajść \(\displaystyle{ \tg x=\sin x}\), tj. \(\displaystyle{ \frac{\sin x}{\cos x}=\sin x}\), co się sprowadza do \(\displaystyle{ \sin x=0\vee \cos x=1}\), tj. \(\displaystyle{ x=k\pi}\). Zatem dziedzina wygląda tak: \(\displaystyle{ x\neq \frac{k\pi}{2}, \ k\in \ZZ}\).
Teraz możemy pomnożyć licznik i mianownik przez (niezerowy w świetle założeń) \(\displaystyle{ \ctg x}\), co daje
\(\displaystyle{ \frac{1+\cos x}{1-\cos x}=4\cos^{2}\left(\frac{x}{2}\right)}\)
Ponadto \(\displaystyle{ \cos x=2\cos^{2}\left(\frac{x}{2}\right)-1}\), wzór na kosinus podwojonego kąta. Zatem
\(\displaystyle{ 4\cos^{2}\left(\frac{x}{2}\right)=2\left(\cos x+1\right)}\)
i zostajemy z równaniem
\(\displaystyle{ \frac{1+\cos x}{1-\cos x}=2\left(1+\cos x\right)}\),
z którym to niewątpliwie sobie poradzisz (pamiętaj o uwzględnieniu dziedziny!).

[Niepokonana]

Ale nie te konkretne równania, tylko ogólnie.

[Premislav]

No to mówię, nie umiem odpowiadać na tak ogólne pytania, wzory się bierze z karty wzorów, książek albo neta (np.

Kod: Zaznacz cały

https://www.matemaks.pl/wzory-trygonometryczne.html

), gdy się ich nie zna, a z głowy, gdy się je zna. Może po prostu zacznij od trochę łatwiejszych zadań (te nie są też bardzo trudne, ale skoro zadajesz takie pytanie, bez urazy, to może za trudne). Trochę się oswoić z tymi wzorami, a potem dopiero przejść do trudniejszych zadań.

Swoją drogą myślałem, że wzory redukcyjne to są te typu
\(\displaystyle{ \cos(2k\pi+x)=\cos x, \cos((2k+1)\pi+x)=-\cos x, \ \cos\left(\frac{\pi}{2}-x\right)=\sin x}\)i tak dalej. Wzorów na sumę sinusów, kosinus podwojonego kąta i podobnych to bym nie nazwał redukcyjnymi.
Jak masz takie zadanie, jak np. to pierwsze, to starasz się zwykle pozbyć wszystkich funkcji trygonometrycznych poza jedną, na przykład kosinusem.
Drogą do tego są te tożsamości trygonometryczne, a je najlepiej się wyprowadza z liczb zespolonych, wtedy nie trzeba pamiętać. Ale chyba w szkole średniej nie ma liczb zespolonych.

[Niepokonana]

Premislav, inne pytanie.
mam \(\displaystyle{ x= \frac{\pi }{2}+ \frac{2}{3} k\pi }\) Jak znaleźć rozwiązania dla przedziału \(\displaystyle{ (0;\pi )}\)?

[Premislav]

Hm? Rozwiązujesz nierówności
\(\displaystyle{ 0<\frac{\pi}{2}+\frac{2}{3}k\pi<\pi}\) ze względu na niewiadomą \(\displaystyle{ k}\) i potem wystarczy pamiętać, że \(\displaystyle{ k}\) ma być całkowite.

[JHN]

... jak w ogóle to zrobić i skąd brać wzory.

Wzory - z tablic...
Równanie trygonometryczne trzeba jak najszybciej sprowadzić do postaci równań elementarnych np. \(\displaystyle{ \sin \text{ coś }= \text{ liczba}}\)
Są dwie istotne techniki: zmienna pomocnicza. Dla równania

\(\displaystyle{ \frac{\tg x +\sin x}{\tg x - \sin x} = 4 \cos ^{2} \frac{x}{2} }\)

Premislav bardzo ładnie zobrazował ten pomysł

i faktoryzacja (postać iloczynowa). Dla równania

\(\displaystyle{ \sin ^{2}x+\sin ^{2} 2x=\sin ^{2} 3x +\sin ^{2} 4x}\)

można: \(\displaystyle{ \sin ^{2} 4x-\sin ^{2} 2x+\sin ^{2} 3x-\sin ^{2}x=\\
=(\sin 4x-\sin 2x)(\sin4x+\sin2x)+(\sin3x-\sin x)(\sin3x+\sin x)=\\
=\color{green}{2\sin x\cos3x\cdot 2\sin3x\cos x}
+2\sin x\cos2x\cdot\sin 2x\cos x= \\
=\sin2x\sin6x+\sin2x\sin4x=\\
=\sin2x(\sin6x+\sin4x=\sin2x\cdot2\sin5x\cos x\ \ \text{ dla } x\in\RR}\)
Wystarczy teraz kolejne czynniki przyrównać do zera - rozwiązać równania trygonometryczne elementarne

Pozdrawiam
PS. Uzupełnienie zielonego wersu:
\(\displaystyle{ {2\sin x\cos3x\cdot 2\sin3x\cos x} = (2\sin x\cos x) \cdot (2\sin3x\cos 3x)=\sin(2\cdot x)\cdot\sin(2\cdot3x)}\)
\(\displaystyle{ {2\sin x\cos2x\cdot 2\sin2x\cos x} = (2\sin x\cos x) \cdot (2\sin2x\cos 2x)=\sin(2\cdot x)\cdot\sin(2\cdot2x)}\)

[Niepokonana]

A jak zrobić \(\displaystyle{ \sin^{2}x+\cos x \sin x =\tg x}\)
\(\displaystyle{ \tg 2x - \sin 2x=2\sin ^{2}x}\) To są łatwiejsze przykłady, ale podchwytliwe

[Premislav]

W pierwszym zacznij od dziedziny (tangens musi być określony), potem rozważ przypadki zerowego i niezerowego sinusa, w pierwszym przypadku masz rozwiązanie, a w drugim przypadku dzielisz stronami przez \(\displaystyle{ \sin x}\) i dostajesz
\(\displaystyle{ \sin x+\cos x=\frac{1}{\cos x}\\ \sin x+\cos x=\frac{\sin^{2}x+\cos^{2}x}{\cos x}\\\sin x=\tg x\\ 1=\frac{1}{\cos x}\\\cos x=1\\x=\ldots}\)

W drugim zadaniu znów najpierw dziedzina, potem można zapisać \(\displaystyle{ 2\sin^{2}x =1-\cos 2x}\) i pomnożyć stronami przez \(\displaystyle{ \cos 2x}\), a otrzymasz
\(\displaystyle{ \sin 2x(1-\cos 2x)=\cos 2x(1-\cos 2x)\\ \cos 2x=1\vee \tg 2x=1}\)
itd.

[Niepokonana]

A \(\displaystyle{ 1-\cos 2x=\tg x}\)? Bo ja ja zrobiłam tak \(\displaystyle{ \sin ^{2}x= \frac{\sin x}{\cos x} }\)
No i jak to skończyć? Chyba coś źle robię.

[Jan Kraszewski]

A \(\displaystyle{ 1-\cos 2x=\tg x}\)? Bo ja ja zrobiłam tak \(\displaystyle{ \sin ^{2}x= \frac{\sin x}{\cos x} }\)

Hmm... Przecież \(\displaystyle{ 1-\cos 2x\ne \sin ^{2}x}\).

JK

[Premislav]

Oj, źle tam napisałem!
To może zrobię to pierwsze:
\(\displaystyle{ \sin^{2}x+\sin x\cos x=\tg x}\)
Dziedzina: \(\displaystyle{ x\neq \frac{\pi}{2}+k\pi, \ k\in \ZZ}\)
Przenosimy wszystko na jedną stronę i mamy:
\(\displaystyle{ \sin x\left(\sin x+\cos x-\frac{1}{\cos x}\right)=0}\)
Jeśli \(\displaystyle{ \sin x=0}\), to jest \(\displaystyle{ x=k\pi, \ k\in \ZZ}\), to równość zachodzi, a w przeciwnym razie mamy
\(\displaystyle{ \sin x+\cos x=\frac{1}{\cos x}\\ \cos^{2} x+\sin x\cos x=1\\\cos^{2}x+\sin x\cos x=\cos^{2}x+\sin ^{2}x\\\sin x(\cos x-\sin x)=0}\)
a skoro \(\displaystyle{ \sin x\neq 0}\), to \(\displaystyle{ \sin x=\cos x}\), tj. \(\displaystyle{ x=\frac{\pi}{4}+k\pi}\)
Zostajemy więc z:
\(\displaystyle{ x=k\pi\vee x=\frac{\pi}{4}+k\pi, \ k\in\ZZ}\)

[Niepokonana]

Ale jak to Panie doktorze? Mi się wydawało, że to tak właśnie jest. Bo to będzie \(\displaystyle{ 2\sin ^{2} x}\), to dlatego miałam źle.

Ooo, Premislav, dzięki. Ja jeszcze nie kończę wątku, bo przynajmniej do jutra będę się z tym męczyć.

[Jan Kraszewski]

Ale jak to Panie doktorze? Mi się wydawało, że to tak właśnie jest. Bo to będzie \(\displaystyle{ 2\sin ^{2} x}\), to dlatego miałam źle.

Dwójka robi różnicę...

JK

[a4karo]

Ale nie te konkretne równania, tylko ogólnie.

Nie wierz w to, że istnieje uniwersalna metoda na wszystko. Doświadczenie pozwoli Ci poznać metody skuteczne w wielu przypadkach. Części nigdy nie ugryziesz