Równania trygonometryczne
- Niepokonana
- Użytkownik
- Posty: 1548
- Rejestracja: 4 sie 2019, o 11:12
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Polska
- Podziękował: 337 razy
- Pomógł: 20 razy
Równania trygonometryczne
Witam
Proszę o pomoc, ja naprawdę nie rozumiem tego tematu. Jak się wyprowadza wzory redukcyjne? Jak się to robi? Potrzebuję szczegółowych wyjaśnień.
Przykładowo "rozwiąż równania":
\(\displaystyle{ \frac{\tg x +\sin x}{\tg x - \sin x} = 4 \cos ^{2} \frac{x}{2} }\)
\(\displaystyle{ \sin ^{2}x+\sin ^{2} 2x=\sin ^{2} 3x +\sin ^{2} 4x}\)
Nie chodzi mi o te konkretne przykłady, tylko jak w ogóle to zrobić i skąd brać wzory.
Proszę o pomoc, ja naprawdę nie rozumiem tego tematu. Jak się wyprowadza wzory redukcyjne? Jak się to robi? Potrzebuję szczegółowych wyjaśnień.
Przykładowo "rozwiąż równania":
\(\displaystyle{ \frac{\tg x +\sin x}{\tg x - \sin x} = 4 \cos ^{2} \frac{x}{2} }\)
\(\displaystyle{ \sin ^{2}x+\sin ^{2} 2x=\sin ^{2} 3x +\sin ^{2} 4x}\)
Nie chodzi mi o te konkretne przykłady, tylko jak w ogóle to zrobić i skąd brać wzory.
- Premislav
- Użytkownik
- Posty: 15687
- Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 196 razy
- Pomógł: 5221 razy
Re: Równania trygonometryczne
Nie umiem odpowiadać na tak ogólne pytania, za głupi jestem. No z głowy, ew. z kart wzorów.
Pierwsze: najpierw dziedzina, tj. \(\displaystyle{ \tg }\) musi być określony, zatem \(\displaystyle{ x\neq \frac{\pi}{2}+k\pi}\), poza tym mianownik po lewej nie może być zerem, więc nie może zajść \(\displaystyle{ \tg x=\sin x}\), tj. \(\displaystyle{ \frac{\sin x}{\cos x}=\sin x}\), co się sprowadza do \(\displaystyle{ \sin x=0\vee \cos x=1}\), tj. \(\displaystyle{ x=k\pi}\). Zatem dziedzina wygląda tak: \(\displaystyle{ x\neq \frac{k\pi}{2}, \ k\in \ZZ}\).
Teraz możemy pomnożyć licznik i mianownik przez (niezerowy w świetle założeń) \(\displaystyle{ \ctg x}\), co daje
\(\displaystyle{ \frac{1+\cos x}{1-\cos x}=4\cos^{2}\left(\frac{x}{2}\right)}\)
Ponadto \(\displaystyle{ \cos x=2\cos^{2}\left(\frac{x}{2}\right)-1}\), wzór na kosinus podwojonego kąta. Zatem
\(\displaystyle{ 4\cos^{2}\left(\frac{x}{2}\right)=2\left(\cos x+1\right)}\)
i zostajemy z równaniem
\(\displaystyle{ \frac{1+\cos x}{1-\cos x}=2\left(1+\cos x\right)}\),
z którym to niewątpliwie sobie poradzisz (pamiętaj o uwzględnieniu dziedziny!).
Pierwsze: najpierw dziedzina, tj. \(\displaystyle{ \tg }\) musi być określony, zatem \(\displaystyle{ x\neq \frac{\pi}{2}+k\pi}\), poza tym mianownik po lewej nie może być zerem, więc nie może zajść \(\displaystyle{ \tg x=\sin x}\), tj. \(\displaystyle{ \frac{\sin x}{\cos x}=\sin x}\), co się sprowadza do \(\displaystyle{ \sin x=0\vee \cos x=1}\), tj. \(\displaystyle{ x=k\pi}\). Zatem dziedzina wygląda tak: \(\displaystyle{ x\neq \frac{k\pi}{2}, \ k\in \ZZ}\).
Teraz możemy pomnożyć licznik i mianownik przez (niezerowy w świetle założeń) \(\displaystyle{ \ctg x}\), co daje
\(\displaystyle{ \frac{1+\cos x}{1-\cos x}=4\cos^{2}\left(\frac{x}{2}\right)}\)
Ponadto \(\displaystyle{ \cos x=2\cos^{2}\left(\frac{x}{2}\right)-1}\), wzór na kosinus podwojonego kąta. Zatem
\(\displaystyle{ 4\cos^{2}\left(\frac{x}{2}\right)=2\left(\cos x+1\right)}\)
i zostajemy z równaniem
\(\displaystyle{ \frac{1+\cos x}{1-\cos x}=2\left(1+\cos x\right)}\),
z którym to niewątpliwie sobie poradzisz (pamiętaj o uwzględnieniu dziedziny!).
- Niepokonana
- Użytkownik
- Posty: 1548
- Rejestracja: 4 sie 2019, o 11:12
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Polska
- Podziękował: 337 razy
- Pomógł: 20 razy
- Premislav
- Użytkownik
- Posty: 15687
- Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 196 razy
- Pomógł: 5221 razy
Re: Równania trygonometryczne
No to mówię, nie umiem odpowiadać na tak ogólne pytania, wzory się bierze z karty wzorów, książek albo neta (np. ), gdy się ich nie zna, a z głowy, gdy się je zna. Może po prostu zacznij od trochę łatwiejszych zadań (te nie są też bardzo trudne, ale skoro zadajesz takie pytanie, bez urazy, to może za trudne). Trochę się oswoić z tymi wzorami, a potem dopiero przejść do trudniejszych zadań.
Swoją drogą myślałem, że wzory redukcyjne to są te typu
\(\displaystyle{ \cos(2k\pi+x)=\cos x, \cos((2k+1)\pi+x)=-\cos x, \ \cos\left(\frac{\pi}{2}-x\right)=\sin x}\)i tak dalej. Wzorów na sumę sinusów, kosinus podwojonego kąta i podobnych to bym nie nazwał redukcyjnymi.
Jak masz takie zadanie, jak np. to pierwsze, to starasz się zwykle pozbyć wszystkich funkcji trygonometrycznych poza jedną, na przykład kosinusem.
Drogą do tego są te tożsamości trygonometryczne, a je najlepiej się wyprowadza z liczb zespolonych, wtedy nie trzeba pamiętać. Ale chyba w szkole średniej nie ma liczb zespolonych.
Kod: Zaznacz cały
https://www.matemaks.pl/wzory-trygonometryczne.html
Swoją drogą myślałem, że wzory redukcyjne to są te typu
\(\displaystyle{ \cos(2k\pi+x)=\cos x, \cos((2k+1)\pi+x)=-\cos x, \ \cos\left(\frac{\pi}{2}-x\right)=\sin x}\)i tak dalej. Wzorów na sumę sinusów, kosinus podwojonego kąta i podobnych to bym nie nazwał redukcyjnymi.
Jak masz takie zadanie, jak np. to pierwsze, to starasz się zwykle pozbyć wszystkich funkcji trygonometrycznych poza jedną, na przykład kosinusem.
Drogą do tego są te tożsamości trygonometryczne, a je najlepiej się wyprowadza z liczb zespolonych, wtedy nie trzeba pamiętać. Ale chyba w szkole średniej nie ma liczb zespolonych.
- Niepokonana
- Użytkownik
- Posty: 1548
- Rejestracja: 4 sie 2019, o 11:12
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Polska
- Podziękował: 337 razy
- Pomógł: 20 razy
Re: Równania trygonometryczne
Premislav, inne pytanie.
mam \(\displaystyle{ x= \frac{\pi }{2}+ \frac{2}{3} k\pi }\) Jak znaleźć rozwiązania dla przedziału \(\displaystyle{ (0;\pi )}\)?
mam \(\displaystyle{ x= \frac{\pi }{2}+ \frac{2}{3} k\pi }\) Jak znaleźć rozwiązania dla przedziału \(\displaystyle{ (0;\pi )}\)?
- Premislav
- Użytkownik
- Posty: 15687
- Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 196 razy
- Pomógł: 5221 razy
Re: Równania trygonometryczne
Hm? Rozwiązujesz nierówności
\(\displaystyle{ 0<\frac{\pi}{2}+\frac{2}{3}k\pi<\pi}\) ze względu na niewiadomą \(\displaystyle{ k}\) i potem wystarczy pamiętać, że \(\displaystyle{ k}\) ma być całkowite.
\(\displaystyle{ 0<\frac{\pi}{2}+\frac{2}{3}k\pi<\pi}\) ze względu na niewiadomą \(\displaystyle{ k}\) i potem wystarczy pamiętać, że \(\displaystyle{ k}\) ma być całkowite.
- JHN
- Użytkownik
- Posty: 668
- Rejestracja: 8 lip 2007, o 18:09
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Radom
- Podziękował: 7 razy
- Pomógł: 206 razy
Re: Równania trygonometryczne
Wzory - z tablic...
Równanie trygonometryczne trzeba jak najszybciej sprowadzić do postaci równań elementarnych np. \(\displaystyle{ \sin \text{ coś }= \text{ liczba}}\)
Są dwie istotne techniki: zmienna pomocnicza. Dla równania
Premislav bardzo ładnie zobrazował ten pomysłNiepokonana pisze: ↑23 mar 2020, o 13:03 \(\displaystyle{ \frac{\tg x +\sin x}{\tg x - \sin x} = 4 \cos ^{2} \frac{x}{2} }\)
i faktoryzacja (postać iloczynowa). Dla równania
można: \(\displaystyle{ \sin ^{2} 4x-\sin ^{2} 2x+\sin ^{2} 3x-\sin ^{2}x=\\Niepokonana pisze: ↑23 mar 2020, o 13:03 \(\displaystyle{ \sin ^{2}x+\sin ^{2} 2x=\sin ^{2} 3x +\sin ^{2} 4x}\)
=(\sin 4x-\sin 2x)(\sin4x+\sin2x)+(\sin3x-\sin x)(\sin3x+\sin x)=\\
=\color{green}{2\sin x\cos3x\cdot 2\sin3x\cos x}
+2\sin x\cos2x\cdot\sin 2x\cos x= \\
=\sin2x\sin6x+\sin2x\sin4x=\\
=\sin2x(\sin6x+\sin4x=\sin2x\cdot2\sin5x\cos x\ \ \text{ dla } x\in\RR}\)
Wystarczy teraz kolejne czynniki przyrównać do zera - rozwiązać równania trygonometryczne elementarne
Pozdrawiam
PS. Uzupełnienie zielonego wersu:
\(\displaystyle{ {2\sin x\cos3x\cdot 2\sin3x\cos x} = (2\sin x\cos x) \cdot (2\sin3x\cos 3x)=\sin(2\cdot x)\cdot\sin(2\cdot3x)}\)
\(\displaystyle{ {2\sin x\cos2x\cdot 2\sin2x\cos x} = (2\sin x\cos x) \cdot (2\sin2x\cos 2x)=\sin(2\cdot x)\cdot\sin(2\cdot2x)}\)
- Niepokonana
- Użytkownik
- Posty: 1548
- Rejestracja: 4 sie 2019, o 11:12
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Polska
- Podziękował: 337 razy
- Pomógł: 20 razy
Re: Równania trygonometryczne
A jak zrobić \(\displaystyle{ \sin^{2}x+\cos x \sin x =\tg x}\)
\(\displaystyle{ \tg 2x - \sin 2x=2\sin ^{2}x}\) To są łatwiejsze przykłady, ale podchwytliwe
\(\displaystyle{ \tg 2x - \sin 2x=2\sin ^{2}x}\) To są łatwiejsze przykłady, ale podchwytliwe
- Premislav
- Użytkownik
- Posty: 15687
- Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 196 razy
- Pomógł: 5221 razy
Re: Równania trygonometryczne
W pierwszym zacznij od dziedziny (tangens musi być określony), potem rozważ przypadki zerowego i niezerowego sinusa, w pierwszym przypadku masz rozwiązanie, a w drugim przypadku dzielisz stronami przez \(\displaystyle{ \sin x}\) i dostajesz
\(\displaystyle{ \sin x+\cos x=\frac{1}{\cos x}\\ \sin x+\cos x=\frac{\sin^{2}x+\cos^{2}x}{\cos x}\\\sin x=\tg x\\ 1=\frac{1}{\cos x}\\\cos x=1\\x=\ldots}\)
W drugim zadaniu znów najpierw dziedzina, potem można zapisać \(\displaystyle{ 2\sin^{2}x =1-\cos 2x}\) i pomnożyć stronami przez \(\displaystyle{ \cos 2x}\), a otrzymasz
\(\displaystyle{ \sin 2x(1-\cos 2x)=\cos 2x(1-\cos 2x)\\ \cos 2x=1\vee \tg 2x=1}\)
itd.
\(\displaystyle{ \sin x+\cos x=\frac{1}{\cos x}\\ \sin x+\cos x=\frac{\sin^{2}x+\cos^{2}x}{\cos x}\\\sin x=\tg x\\ 1=\frac{1}{\cos x}\\\cos x=1\\x=\ldots}\)
W drugim zadaniu znów najpierw dziedzina, potem można zapisać \(\displaystyle{ 2\sin^{2}x =1-\cos 2x}\) i pomnożyć stronami przez \(\displaystyle{ \cos 2x}\), a otrzymasz
\(\displaystyle{ \sin 2x(1-\cos 2x)=\cos 2x(1-\cos 2x)\\ \cos 2x=1\vee \tg 2x=1}\)
itd.
- Niepokonana
- Użytkownik
- Posty: 1548
- Rejestracja: 4 sie 2019, o 11:12
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Polska
- Podziękował: 337 razy
- Pomógł: 20 razy
Re: Równania trygonometryczne
A \(\displaystyle{ 1-\cos 2x=\tg x}\)? Bo ja ja zrobiłam tak \(\displaystyle{ \sin ^{2}x= \frac{\sin x}{\cos x} }\)
No i jak to skończyć? Chyba coś źle robię.
No i jak to skończyć? Chyba coś źle robię.
-
- Administrator
- Posty: 34281
- Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 3 razy
- Pomógł: 5203 razy
Re: Równania trygonometryczne
Hmm... Przecież \(\displaystyle{ 1-\cos 2x\ne \sin ^{2}x}\).Niepokonana pisze: ↑23 mar 2020, o 16:22 A \(\displaystyle{ 1-\cos 2x=\tg x}\)? Bo ja ja zrobiłam tak \(\displaystyle{ \sin ^{2}x= \frac{\sin x}{\cos x} }\)
JK
- Premislav
- Użytkownik
- Posty: 15687
- Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 196 razy
- Pomógł: 5221 razy
Re: Równania trygonometryczne
Oj, źle tam napisałem!
To może zrobię to pierwsze:
\(\displaystyle{ \sin^{2}x+\sin x\cos x=\tg x}\)
Dziedzina: \(\displaystyle{ x\neq \frac{\pi}{2}+k\pi, \ k\in \ZZ}\)
Przenosimy wszystko na jedną stronę i mamy:
\(\displaystyle{ \sin x\left(\sin x+\cos x-\frac{1}{\cos x}\right)=0}\)
Jeśli \(\displaystyle{ \sin x=0}\), to jest \(\displaystyle{ x=k\pi, \ k\in \ZZ}\), to równość zachodzi, a w przeciwnym razie mamy
\(\displaystyle{ \sin x+\cos x=\frac{1}{\cos x}\\ \cos^{2} x+\sin x\cos x=1\\\cos^{2}x+\sin x\cos x=\cos^{2}x+\sin ^{2}x\\\sin x(\cos x-\sin x)=0}\)
a skoro \(\displaystyle{ \sin x\neq 0}\), to \(\displaystyle{ \sin x=\cos x}\), tj. \(\displaystyle{ x=\frac{\pi}{4}+k\pi}\)
Zostajemy więc z:
\(\displaystyle{ x=k\pi\vee x=\frac{\pi}{4}+k\pi, \ k\in\ZZ}\)
To może zrobię to pierwsze:
\(\displaystyle{ \sin^{2}x+\sin x\cos x=\tg x}\)
Dziedzina: \(\displaystyle{ x\neq \frac{\pi}{2}+k\pi, \ k\in \ZZ}\)
Przenosimy wszystko na jedną stronę i mamy:
\(\displaystyle{ \sin x\left(\sin x+\cos x-\frac{1}{\cos x}\right)=0}\)
Jeśli \(\displaystyle{ \sin x=0}\), to jest \(\displaystyle{ x=k\pi, \ k\in \ZZ}\), to równość zachodzi, a w przeciwnym razie mamy
\(\displaystyle{ \sin x+\cos x=\frac{1}{\cos x}\\ \cos^{2} x+\sin x\cos x=1\\\cos^{2}x+\sin x\cos x=\cos^{2}x+\sin ^{2}x\\\sin x(\cos x-\sin x)=0}\)
a skoro \(\displaystyle{ \sin x\neq 0}\), to \(\displaystyle{ \sin x=\cos x}\), tj. \(\displaystyle{ x=\frac{\pi}{4}+k\pi}\)
Zostajemy więc z:
\(\displaystyle{ x=k\pi\vee x=\frac{\pi}{4}+k\pi, \ k\in\ZZ}\)
- Niepokonana
- Użytkownik
- Posty: 1548
- Rejestracja: 4 sie 2019, o 11:12
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Polska
- Podziękował: 337 razy
- Pomógł: 20 razy
Re: Równania trygonometryczne
Ale jak to Panie doktorze? Mi się wydawało, że to tak właśnie jest. Bo to będzie \(\displaystyle{ 2\sin ^{2} x}\), to dlatego miałam źle.
Ooo, Premislav, dzięki. Ja jeszcze nie kończę wątku, bo przynajmniej do jutra będę się z tym męczyć.
Ooo, Premislav, dzięki. Ja jeszcze nie kończę wątku, bo przynajmniej do jutra będę się z tym męczyć.
-
- Administrator
- Posty: 34281
- Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 3 razy
- Pomógł: 5203 razy
Re: Równania trygonometryczne
Dwójka robi różnicę...Niepokonana pisze: ↑23 mar 2020, o 17:34 Ale jak to Panie doktorze? Mi się wydawało, że to tak właśnie jest. Bo to będzie \(\displaystyle{ 2\sin ^{2} x}\), to dlatego miałam źle.
JK
-
- Użytkownik
- Posty: 22210
- Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Bydgoszcz
- Podziękował: 38 razy
- Pomógł: 3755 razy
Re: Równania trygonometryczne
Nie wierz w to, że istnieje uniwersalna metoda na wszystko. Doświadczenie pozwoli Ci poznać metody skuteczne w wielu przypadkach. Części nigdy nie ugryziesz