Równania trygonometryczne

Własności funkcji trygonometrycznych i cyklometrycznych. Tożsamości. RÓWNANIA I NIERÓWNOŚCI.
Awatar użytkownika
Niepokonana
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1546
Rejestracja: 4 sie 2019, o 11:12
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Polska
Podziękował: 335 razy
Pomógł: 20 razy

Re: Równania trygonometryczne

Post autor: Niepokonana »

Ma Pan rację, ale ja te zadania muszę umieć.
Awatar użytkownika
kmarciniak1
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 809
Rejestracja: 14 lis 2014, o 19:37
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 48 razy
Pomógł: 183 razy

Re: Równania trygonometryczne

Post autor: kmarciniak1 »

Niepokonana pisze: 23 mar 2020, o 20:04 Ma Pan rację, ale ja te zadania muszę umieć.
No to z czasem się nauczysz. Oceny które dostajesz są kompletnie nieistotne.
Awatar użytkownika
Niepokonana
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1546
Rejestracja: 4 sie 2019, o 11:12
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Polska
Podziękował: 335 razy
Pomógł: 20 razy

Re: Równania trygonometryczne

Post autor: Niepokonana »

Ale wszyscy/prawie wszyscy w klasie już to rozumieją i ja jestem ostatnia.

Dodano po 3 minutach 56 sekundach:
Ja nie chcę być najgorsza.
Jan Kraszewski
Administrator
Administrator
Posty: 34123
Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 3 razy
Pomógł: 5192 razy

Re: Równania trygonometryczne

Post autor: Jan Kraszewski »

Walcz, walcz. I staraj się zrozumieć, co robisz - także tutaj nie ma drogi na skróty (nie ulegaj tej pokusie).

JK
Awatar użytkownika
Niepokonana
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1546
Rejestracja: 4 sie 2019, o 11:12
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Polska
Podziękował: 335 razy
Pomógł: 20 razy

Re: Równania trygonometryczne

Post autor: Niepokonana »

Ale inni umieją, więc to musi być proste, więc jak to się robi, Panie doktorze? Oczywiście moja "nauczycielka" nie chce mi tego powiedzieć.

\(\displaystyle{ \sin^{2} 2x +6\sin ^{2}x =6}\)
\(\displaystyle{ \sin ^{2} 2x=6(1-\sin ^{2}x)}\)
\(\displaystyle{ 4\sin ^{2}x\cos ^{2}x =6\cos ^{2} x}\)
No i zrobiłam błąd, znowu. A ja to miałam umieć na dzisiaj. ;-;
Jan Kraszewski
Administrator
Administrator
Posty: 34123
Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 3 razy
Pomógł: 5192 razy

Re: Równania trygonometryczne

Post autor: Jan Kraszewski »

Na razie nie ma błędu, dobrze robisz. Przenieś wszystko na jedną stronę, wyłącz \(\displaystyle{ 2\cos^2x}\) przed nawias, dostaniesz dwa przypadki. Co niby jest niedobrze?

JK
Awatar użytkownika
Niepokonana
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1546
Rejestracja: 4 sie 2019, o 11:12
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Polska
Podziękował: 335 razy
Pomógł: 20 razy

Re: Równania trygonometryczne

Post autor: Niepokonana »

To to się nie skróci?
A, jak na dwa przypadki to to umiem.
Jan Kraszewski
Administrator
Administrator
Posty: 34123
Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 3 razy
Pomógł: 5192 razy

Re: Równania trygonometryczne

Post autor: Jan Kraszewski »

Niepokonana pisze: 24 mar 2020, o 14:39To to się nie skróci?
Pamiętaj, nie wolno skracać przez wyrażenie, które może być zerem.

JK
Awatar użytkownika
Niepokonana
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1546
Rejestracja: 4 sie 2019, o 11:12
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Polska
Podziękował: 335 razy
Pomógł: 20 razy

Re: Równania trygonometryczne

Post autor: Niepokonana »

Jan Kraszewski pisze: 24 mar 2020, o 16:04
Niepokonana pisze: 24 mar 2020, o 14:39To to się nie skróci?
Pamiętaj, nie wolno skracać przez wyrażenie, które może być zerem.

JK
Pan doktor ma rację.
A jak rozwiązać takie coś? \(\displaystyle{ \frac{1+\tg x}{1-\tg x}=1+\sin 2x }\)
Napisałam dziedzinę i po paru przekształceniach doszłam do takiej postaci. \(\displaystyle{ \frac{\cos x +\sin x}{\cos x-\sin x} =1+\sin 2x}\) Nie wiem, co z tym dalej zrobić.
Awatar użytkownika
Premislav
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 15685
Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 195 razy
Pomógł: 5219 razy

Re: Równania trygonometryczne

Post autor: Premislav »

Dziedzina: \(\displaystyle{ x\neq \frac{\pi}{2}+k\pi, \ x\neq\frac{\pi}{4}+k\pi, \ k\in\ZZ}\). Zauważmy, że \(\displaystyle{ 1+\sin 2x=\sin^{2}x+\cos^{2}x+2\sin x\cos x=(\sin x+\cos x)^{2}}\)
Rozważmy dwa przypadki:
1) \(\displaystyle{ \sin x+\cos x=0}\), to raczej umiesz rozwiązać;
2) \(\displaystyle{ \sin x+\cos x\neq 0}\), wtedy możesz podzielić stronami przez to wyrażenie i zostaje:
\(\displaystyle{ \frac{1}{\cos x-\sin x}=\sin x+\cos x}\)
Mnożysz przez mianownik, zauważasz wzór na kosinus podwojonego kąta i zrobione.
a4karo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 22171
Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziękował: 38 razy
Pomógł: 3748 razy

Re: Równania trygonometryczne

Post autor: a4karo »

Ja to wszystko na pałę wymnozylem i wyszło
Awatar użytkownika
Niepokonana
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1546
Rejestracja: 4 sie 2019, o 11:12
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Polska
Podziękował: 335 razy
Pomógł: 20 razy

Re: Równania trygonometryczne

Post autor: Niepokonana »

Też na początku o tym myślałam, ale to zbytnio skomplikowałoby sprawę.
a4karo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 22171
Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziękował: 38 razy
Pomógł: 3748 razy

Re: Równania trygonometryczne

Post autor: a4karo »

Zauważyłem, że jak w równaniu pojawiają się ze cztery składniki, to zaczynasz się tego równania bać. Niesłusznie.
Zauważmy najpierw trzy rzeczy:
\(\displaystyle{ \cos x\neq 0}\) (to z powody tangensa)
Jeżeli \(\displaystyle{ \sin x= 0}\) to \(x=k\pi\) jest rozwiązaniem równania
\(\displaystyle{ \sin x\neq \cos x}\) (to z powodu, że tangens jest różny od jedynki).

Zatem możemy założyć, że \(x\neq k\pi\) i dzielić i mnożyć bez obawy przez \(\sin x,\ \cos x\) i \(1-\tan x\)
\begin{align}
1+\tan x&=1-\tan x +(1-\tan x)\sin 2x\\
2\tan x&=\frac{2\sin x\cos x(\cos x-\sin x)}{\cos x}\\
\frac{2\sin x}{\cos x}&=\frac{2\sin x\cos x(\cos x-\sin x)}{\cos x}\\
1&=\cos x(\cos x-\sin x)\\
\cos^2x+\sin ^2x&=\cos^2x-\sin x\cos x\\
\sin x(\sin x+\cos x)&=0\\
\left(\sin x+\sin\left(\pi/2-x\right)\right)&=0
\end{align}
Teraz wzór na sumę sinusów i juź.
Awatar użytkownika
Niepokonana
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1546
Rejestracja: 4 sie 2019, o 11:12
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Polska
Podziękował: 335 razy
Pomógł: 20 razy

Re: Równania trygonometryczne

Post autor: Niepokonana »

No dobrze, dziękuję, ma Pan rację, ale sposób Premislava jest krótszy.
To jeszcze nie koniec.
ODPOWIEDZ