Wzory redukcyjne i równania

[Niepokonana]

Witam
Proszę o pomoc, bo nie rozumiem tematu, wzorów, które są i jak je używać. To będzie dłuższa dyskusja niż zazwyczaj, bo trochę tego jest.

Mamy wzory, gdzie \(\displaystyle{ \alpha}\) to suma dwóch kątów \(\displaystyle{ x+y}\), a \(\displaystyle{ \beta}\) to różnica tych kątów \(\displaystyle{ x-y}\).

\(\displaystyle{ \sin\alpha +\sin\beta =2\sin \frac{\alpha +\beta }{2}\cos \frac{\alpha -\beta }{2} }\)
\(\displaystyle{ \sin\alpha -\sin\beta =2\sin \frac{\alpha -\beta }{2}\cos \frac{\alpha +\beta }{2} }\)
\(\displaystyle{ \cos\alpha+\cos\beta = 2\cos \frac{\alpha +\beta }{2}\cos \frac{\alpha - \beta}{2} }\)
\(\displaystyle{ \cos\alpha-\cos\beta = -2\sin \frac{\alpha +\beta }{2}\sin \frac{\alpha -\beta}{2} }\)
\(\displaystyle{ \cos \alpha = \sin ( \frac{\pi }{2} -\alpha ) }\)

Nie rozumiem, jak mając takie wzory rozwiązać takie przykłady:
oblicz \(\displaystyle{ \tg \frac{4}{3}\pi }\)
Albo \(\displaystyle{ 4\sin ^{2}x=8\cos x -1}\)
\(\displaystyle{ \tg ^{2}x \cdot \tg (\pi -x)=4 \sqrt{3} \tg x +3}\)

[Premislav]

Nie ma w tym wielkiej filozofii. Chociażby:
\(\displaystyle{ \tg \frac{4}{3}\pi=\frac{\sin \frac{4}{3}\pi}{\cos\frac{4}{3}\pi}}\)
i teraz w liczniku stosujesz wzór na sinus sumy, a w mianowniku – wzór na kosinus sumy.
Mamy \(\displaystyle{ \frac{4}{3}\pi=\pi+\frac{\pi}{3}}\)

Natomiast do drugiego przykładu nie są potrzebne te wzory, po prostu z jedynki trygonometrycznej pozbywasz się sinusa i masz równanie kwadratowe zmiennej \(\displaystyle{ t=\cos x}\)(oczywiście \(\displaystyle{ t\in \left[-1, 1\right]}\)!).

Dodano po 3 minutach 13 sekundach:
A nie, czekaj, czy ktoś Ci narzuca użycie akurat tych wzorów w rozwiązaniu wspomnianych zadań? Moim zdaniem tak się nie robi, ale dobra.

[Niepokonana]

Ale jak tak robię, to mi nie wychodzi, a pozbyłam się sinusa.
\(\displaystyle{ 5=4\cos x (\cos x +2)}\) wychodzi takie coś.

[Premislav]

Dobrze, to teraz podstawiasz \(\displaystyle{ t=\cos x}\) i masz równanie kwadratowe:
\(\displaystyle{ 4t^{2}+8t-5=0}\)
Rozwiązanie go nie powinno Ci sprawić kłopotów, pamiętaj tylko, że jeśli wyjdzie Ci jakieś rozwiązanie spoza przedziału \(\displaystyle{ \left[-1,1\right]}\), to należy je odrzucić.

[Niepokonana]

A ostatnie? Ja tego tematu nie rozumiem.

Dodano po 42 minutach 32 sekundach:
A jak zrobić \(\displaystyle{ \sin 5x- \sin4x=0}\)? napisać to jako \(\displaystyle{ \sin (4,5x+0,5x)-\sin (4,5-0,5x)=0}\)?

[Jan Kraszewski]

A jak zrobić \(\displaystyle{ \sin 5x- \sin4x=0}\)? napisać to jako \(\displaystyle{ \sin (4,5x+0,5x)-\sin (4,5-0,5x)=0}\)?

Nie, zastosować wzór na różnicę sinusów:

\(\displaystyle{ \sin\alpha -\sin\beta =2\sin \frac{\alpha -\beta }{2}\cos \frac{\alpha +\beta }{2} }\)

JK

[JHN]

\(\displaystyle{ \tg ^{2}x \cdot \tg (\pi -x)=4 \sqrt{3} \tg\ x +3}\)

Ponieważ
\(\displaystyle{ \tg (\pi -x)=-\tg\ x}\)
to równanie przyjmie postać
\(\displaystyle{ -\tg ^{3}x =4 \sqrt{3} \tg\ x +3\wedge\cos x\ne 0}\)
Niech
\(\displaystyle{ \tg\ x = t\wedge t\in\RR}\)
wtedy
\(\displaystyle{ t^3+4\sqrt3 t+3=0}\)
Wolfram podpowiada \(\displaystyle{ x\approx -0,42215}\)

Pozdrawiam

[Premislav]

Weźmy ten wzorek \(\displaystyle{ \cos \alpha=\sin\left(\frac{\pi}{2}-\alpha\right)}\)
Wstawiając w nim \(\displaystyle{ \alpha:=-\alpha}\) i korzystając z parzystości kosinusa, dostajemy
\(\displaystyle{ \cos \alpha=\sin\left(\frac{\pi}{2}+\alpha\right)}\),
natomiast podstawiając w nim \(\displaystyle{ \alpha:=\frac{\pi}{2}+\alpha}\) i wykorzystując nieparzystość sinusa, otrzymujemy
\(\displaystyle{ \cos\left(\frac{\pi}{2}+\alpha\right)=-\sin \alpha}\)
Jest w liceum indukcja? Jak tak, to może to poprowadzić do ogólniejszej prawidłowości, która się nieraz przyda w zadaniach, a jeśli nie, to ograniczę się do:
\(\displaystyle{ \tg(\pi-x)=\frac{\sin(\pi-x)}{\cos(\pi-x)}=\frac{\sin\left(\frac{\pi}{2}+\frac{\pi}{2}-x\right)}{\cos\left(\frac{\pi}{2}+\frac{\pi}{2}-x\right)}\\=\frac{\cos\left(\frac{\pi}{2}-x\right)}{-\sin\left(\frac{\pi}{2}-x\right)}\\=\frac{-\sin(-x)}{-\cos(-x)}=-\tg x}\)

Czyli masz równanie:
\(\displaystyle{ -\tg^{3}x=4\sqrt{3}\tg x+3\\\tg^{3}x+4\sqrt{3}\tg x+3=0 }\)
Jednak myślę, że jest tu błąd w treści, ponieważ to umiem rozwiązać raczej tylko na nielicealnym poziomie (z zastosowaniem wzorów Cardana lub przechodząc przez wzór na sinus potrojonego kąta, co jednakowoż wymaga – akurat tu – użycia liczb zespolonych).
Gdyby po lewej było \(\displaystyle{ \tg x \ \tg(\pi-x)}\), to wyszłoby kolejne łatwe zadanie na równanie kwadratowe, a tak to średnio to widzę.

[Niepokonana]

A tak przepraszam, niepotrzebnie wstawiłam tak kwadrat. Ale już sobie z tym poradziłam po dłuższym zastanowieniu.

To ostatnie pytanie, co się robi jak mam takie coś \(\displaystyle{ \sin (- \frac{23}{6}\pi )}\).
Już trochę rozumiem.

[Jan Kraszewski]

Okresowość sinusa. Do \(\displaystyle{ -\frac{23}{6}\pi}\) dodajesz \(\displaystyle{ 2\pi=\frac{12}{6}\pi}\) aż dostaniesz kąt, którego sinus umiesz policzyć.

JK

[JHN]

Ja bym skorzystał jednak z wzorów redukcyjnych...
\(\displaystyle{ \sin \left(- \frac{23}{6}\pi \right)=\sin \left(2\cdot 2\pi- \frac{23}{6}\pi \right)=\sin \left(\frac{\pi}{6} \right)=\cdots}\).

Pozdrawiam

[edited] poprawka

[Niepokonana]

A jak działają wzory redukcyjne?

[Jan Kraszewski]

Ja bym skorzystał jednak z wzorów redukcyjnych...
\(\displaystyle{ \sin \left(- \frac{23}{6}\pi \right)=\sin \left(2\cdot 2\pi- \frac{23}{6}\pi \right)=\sin \left(\frac{\pi}{6} \right)=\cdots}\).

Napisałeś dokładnie to samo, co ja... Będą się upierał, że to jednak okresowość, a nie wzory redukcyjne...

JK

[Niepokonana]

A no właśnie, to jest okresowość, że się zmniejsza do okresu najbliższego zeru, tak? I jak jest sinus ujemny to można tylko dodawać, a nie odejmować?

[Jan Kraszewski]

A no właśnie, to jest okresowość, że się zmniejsza do okresu najbliższego zeru, tak?

Nie, wykorzystujesz okresowość sinusa, by znaleźć kąt różniący się od danego o wielokrotność \(\displaystyle{ 2\pi}\) i taki, którego sinus potrafisz policzyć - będzie on taki sam, jak sinus wyjściowego kąta.

I jak jest sinus ujemny to można tylko dodawać, a nie odejmować?

Jak masz sinus ujemnego kąta, to oczywiście możesz odejmować \(\displaystyle{ 2\pi}\), tylko po co? Korzyści żadnej z tego nie masz...

JK