Równanie z parametrem

[Niepokonana]

Witam
Proszę o podpowiedź.
Jest dana funkcja \(\displaystyle{ f(x)=2-\cos(x-m)}\) dla przedziału \(\displaystyle{ \left<0;\pi\right >}\), czyli połowa jednego zwykłego okresu cosinusa. Wyznaczyć jej wartość największe i najmniejszą w zależności od \(\displaystyle{ m \in \left< -\frac{\pi }{2}; \frac{\pi }{2} \right> }\).

Myślałam, żeby narysować funkcję \(\displaystyle{ f(x)=2-\cos(x)=-(\cos(x)-2)}\) dla wskazanego przedziału i potem zastanowić się, jak zmieniałyby się największe i najmniejsze wartości funkcji w zależności od \(\displaystyle{ m}\). Wiem, że parametr w takim miejscu oznacza przesuwanie funkcji na boki. Dobrze myślę?

[janusz47]

Kiedy różnica \(\displaystyle{ 2 - \cos(x - m) }\) będzie największa, kiedy najmniejsza, gdy \(\displaystyle{ -1 \leq \cos(x-m) \leq 1 }\) i jakie będą jej wartości , gdy \(\displaystyle{ x \in [ 0, \pi ]? }\)

[Niepokonana]

nie rozumiem

[janusz47]

\(\displaystyle{ 2 - (-1) = 3, \ \ 2 - 1 = 1 }\) są to wartości największa i najmniejsza tej funkcji.

Takie wartości funkcja \(\displaystyle{ f }\) przyjmuje, gdy \(\displaystyle{ \cos(x-m) }\) jest równy odpowiednio ...

[kerajs]

A ja zaproponuję coś innego.
Narysuj wykresy funkcji:
\(\displaystyle{ f_1=2-\cos (x- \frac{ \pi }{2})\\
f_2=2-\cos (x) \\
f_3=2-\cos (x+ \frac{ \pi }{2} ) \\
}\) i określ zbiór ich wartości.
Potem zastanów się jaki będzie zbiór wartości funkcji
\(\displaystyle{ f(x)=2-\cos (x- m)}\)
dla
a) \(\displaystyle{ 0< m <\frac{ \pi }{2}}\)
b) \(\displaystyle{ \frac{ -\pi }{2}<m<0}\)

[Niepokonana]

A mogę je narysować na jednym wykresie?

[kerajs]

Proszę bardzo, ale koniecznie różnymi kolorami.

Ps.
Ciekawe gdzie jest równanie z tytułu tego tematu?

[Niepokonana]

Jest tylko równanie funkcji.

[kerajs]

Jasna sprawa, równanie funkcji z parametrem. Sie wie.

Oczywistym jest, że Twoje wykresiki są robione tylko dla \(\displaystyle{ 0 \le x \le \pi }\).

I ma z nich wyniknąć konkluzja:
\(\displaystyle{ 1 \le f(x) \le 2-\cos ( \pi -m) \ \ \ \ \text{dla} \ \ \ \ 0 \le m \le \frac{ \pi }{2} \\
2-\cos (0 -m) \le f(x) \le 3 \ \ \ \ \text{dla} \ \ \ \ \frac{ -\pi }{2} \le m <0 }\)


PS
Gdybyś się zniechęciła do wykresów, to masz jeszcze pochodną do rozpykania równania.

[Niepokonana]

Obiecałam Panu równanie i nie dałam. A to przepraszam.

Nie wiem, co to pochodna. Narysuję te wykresy i powiem, czy wyszło.
Jak na stronę i tylko na jedno pi, to będzie to wyraźne i czytelne.