Wyznaczenie zbioru wartości funckji

[nice1233]

Wyznacz zbiór wartości funkcji:
\(\displaystyle{ f(x) = \cos \left( \frac{\pi}{2} \sin(x) \right)}\)

Ja mam to rozwiązać na podstawie podanego na lekcji rozwiązanego przykładu:
\(\displaystyle{ f(x)=\sin \left( \frac{\pi }{6} \cos x \right)}\)
Skoro:
\[\begin{align}
& -1\le \cos x\le 1\left| \cdot \frac{\pi }{6} \right. \\[1ex]
& -\frac{\pi }{6}\le \frac{\pi }{6}\cos x\le \frac{\pi }{6} \\[1ex]
& \sin \left( -\frac{\pi }{6} \right)\le \sin \left( \frac{\pi }{6}\cos x \right)\le \sin \left( \frac{\pi }{6} \right) \\[1ex]
& -\frac{1}{2}\le \sin \left( \frac{\pi }{6}\cos x \right)\le \frac{1}{2} \\[1ex]
\end{align}\]
Zatem zbiór wartości to \[Z{{W}_{f}}=\left\langle -\frac{1}{2};\frac{1}{2} \right\rangle \]

Lecz mam wątpliwości:

Dlaczego mogę (3 linijce) "sinusoidować stronami"?

Postępując analogicznie do podanego wyżej przykłądu, otrzymuje:

\(\displaystyle{ \begin{align}
& -1\le \sin x\le 1 \\[1ex]
& -\frac{\pi }{2}\le \frac{\pi }{2}\sin x\le \frac{\pi }{2} \\[1ex]
& \cos \left( -\frac{\pi }{2} \right)\le \cos \left( \frac{\pi }{2}\sin x \right)\le \cos \left( \frac{\pi }{2} \right) \\[1ex]
& 0\le \cos \left( \frac{\pi }{2}\sin x \right)\le 0 \\[1ex]
\end{align}
}\)



Dlaczego tak się dzieje? Poziom zadania 2 klasa liceum. Analiza matematyczna odpada.

[JHN]

Dlaczego mogę (3 linijce) "sinusoidować stronami"?

Bo \(\displaystyle{ y=f(x)=\sin x}\) dla \(\displaystyle{ x\in \left\langle-\frac{\pi}{6};\ \frac{\pi}{6}\right\rangle}\) jest rosnący

Postępując analogicznie do podanego wyżej przykłądu, otrzymuje:
\(\displaystyle{ -1\le \sin x\le 1 \\
-\frac{\pi }{2}\le \frac{\pi }{2}\sin x\le \frac{\pi }{2} }\)

i dalej
\(\displaystyle{ -\frac{\pi }{2}\le \frac{\pi }{2}\sin x\le 0\vee 0\le \frac{\pi }{2}\sin x\le \frac{\pi }{2}}\)
z monotoniczności funkcji \(\displaystyle{ y=f(x)=\cos x}\) w przedziałach
\(\displaystyle{ \cos\left(-\frac{\pi }{2}\right)\le \cos\left(\frac{\pi }{2}\sin x\right)\le \cos 0\vee \cos 0\ge \cos\left(\frac{\pi }{2}\sin x\right)\ge \cos\left(\frac{\pi }{2}\right)}\)
\(\displaystyle{ \cdots}\)

Pozdrawiam