Miara łukowa kąta
- Niepokonana
- Użytkownik
- Posty: 1548
- Rejestracja: 4 sie 2019, o 11:12
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Polska
- Podziękował: 337 razy
- Pomógł: 20 razy
Miara łukowa kąta
Witam
Nie chcę zaspamiać forum, ale mam problem, bo nie wiem, czy dobrze rozumiem. Proszę o pomoc.
Weźmy sobie takie coś. Oblicz \(\displaystyle{ \tg \frac{5}{6}\pi }\). Nie wiem, czy myślę dobrze, czy mi wychodzi dobrze przez przypadek.
Najpierw zbijamy kąt do poniżej \(\displaystyle{ 2\pi}\). Ten jest już zbity i wielokrotność dwóch pi wynosi w jego przypadku \(\displaystyle{ 0}\).
No i w której ćwiartce układu współrzędnych leży ramię końcowe takiego kąta. Myślę, że w drugiej ćwiartce, w sensie tej w lewym górnym rogu.
Ale tyle kąta to wciąż za dużo. Więc zbijam jeszcze raz i okazuje się, że \(\displaystyle{ \tg \frac{5}{6}\pi = \tg \left( \pi - \frac{1}{6} \pi \right)}\). Czyli mamy\(\displaystyle{ \tg \left(- \frac{1}{6}\pi \right)}\) leżący w drugiej ćwiartce układu współrzędnych. Jako, że w tej ćwiartce tangensy są ujemne to mamy \(\displaystyle{ -\tg \frac{1}{6}\pi}\). I ponieważ wielokrotność dwóch pi była parzysta, nie zmieniamy tangensa na cotangens i ostatecznie wychodzi nam \(\displaystyle{ - \frac{ \sqrt{3} }{3} }\).
Dobrze myślę, czy źle? Proszę o odpowiedź, bo nie wiem.
Nie chcę zaspamiać forum, ale mam problem, bo nie wiem, czy dobrze rozumiem. Proszę o pomoc.
Weźmy sobie takie coś. Oblicz \(\displaystyle{ \tg \frac{5}{6}\pi }\). Nie wiem, czy myślę dobrze, czy mi wychodzi dobrze przez przypadek.
Najpierw zbijamy kąt do poniżej \(\displaystyle{ 2\pi}\). Ten jest już zbity i wielokrotność dwóch pi wynosi w jego przypadku \(\displaystyle{ 0}\).
No i w której ćwiartce układu współrzędnych leży ramię końcowe takiego kąta. Myślę, że w drugiej ćwiartce, w sensie tej w lewym górnym rogu.
Ale tyle kąta to wciąż za dużo. Więc zbijam jeszcze raz i okazuje się, że \(\displaystyle{ \tg \frac{5}{6}\pi = \tg \left( \pi - \frac{1}{6} \pi \right)}\). Czyli mamy\(\displaystyle{ \tg \left(- \frac{1}{6}\pi \right)}\) leżący w drugiej ćwiartce układu współrzędnych. Jako, że w tej ćwiartce tangensy są ujemne to mamy \(\displaystyle{ -\tg \frac{1}{6}\pi}\). I ponieważ wielokrotność dwóch pi była parzysta, nie zmieniamy tangensa na cotangens i ostatecznie wychodzi nam \(\displaystyle{ - \frac{ \sqrt{3} }{3} }\).
Dobrze myślę, czy źle? Proszę o odpowiedź, bo nie wiem.
-
- Użytkownik
- Posty: 7917
- Rejestracja: 18 mar 2009, o 16:24
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 30 razy
- Pomógł: 1671 razy
Re: Miara łukowa kąta
Co to jest zbijanie kąta? Skąd takie słownictwo?
Dodano po 24 minutach 57 sekundach:
Korzystamy ze wzorów redukcyjnych, sprowadzających miary kątów do miar kątów - pierwszej ćwiartki.
\(\displaystyle{ \tg\left(\frac{5}{6}\pi \right) = \tg \left( \pi - \frac{1}{6}\pi \right) = -tg \left(\frac{1}{6}\pi \right) = -\frac{\sqrt{3}}{3}. }\)
lub
\(\displaystyle{ \tg\left(\frac{5}{6}\pi \right) = \tg \left ( \frac{\pi}{2} + \frac{1}{3}\pi \right) = -\ctg \left( \frac{1}{3}\pi \right) = -\frac{\sqrt{3}}{3}.}\)
Dodano po 24 minutach 57 sekundach:
Korzystamy ze wzorów redukcyjnych, sprowadzających miary kątów do miar kątów - pierwszej ćwiartki.
\(\displaystyle{ \tg\left(\frac{5}{6}\pi \right) = \tg \left( \pi - \frac{1}{6}\pi \right) = -tg \left(\frac{1}{6}\pi \right) = -\frac{\sqrt{3}}{3}. }\)
lub
\(\displaystyle{ \tg\left(\frac{5}{6}\pi \right) = \tg \left ( \frac{\pi}{2} + \frac{1}{3}\pi \right) = -\ctg \left( \frac{1}{3}\pi \right) = -\frac{\sqrt{3}}{3}.}\)
Ostatnio zmieniony 19 lut 2020, o 18:37 przez janusz47, łącznie zmieniany 1 raz.
- Janusz Tracz
- Użytkownik
- Posty: 4065
- Rejestracja: 13 sie 2016, o 15:01
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: hrubielowo
- Podziękował: 80 razy
- Pomógł: 1392 razy
Re: Miara łukowa kąta
Pewnie branie wartości \(\displaystyle{ \alpha \mod 2 \pi }\) zamiast \(\displaystyle{ \alpha }\)Co to jest zbijanie kąta?
Pewnie wymyślone w twórczym i elastycznym procesie edukacji. Czy to coś złego wymyślać nazwę szczególnie wtedy gdy lepiej oddaje proces/ algorytm?Skąd takie słownictwo?
Możesz tak robić, że najpierw zbijasz wartość wyciągając wielokrotności \(\displaystyle{ 2 \pi }\) ale w przypadku tangensa który jest okresowy od razu możesz zbijać kąt wyciągając całości \(\displaystyle{ \pi }\). Wynika to z faktu \(\displaystyle{ \tg \left( \alpha +k \pi \right)=\tg \alpha }\). Wszak potem i tak to robisz (więc czemu nie zrobić tego zbijanie w jednym kroku)Oblicz \(\displaystyle{ \tg \frac{5 \pi }{6} }\). Nie wiem, czy myślę dobrze, czy mi wychodzi dobrze przez przypadek. Najpierw zbijamy kąt do poniżej \(\displaystyle{ 2 \pi }\).
Właśnie. To można było zrobić zbijaniem \(\displaystyle{ \pi }\). Oszczędzisz tym sobie sporo czasu. NatomiastAle tyle kąta to wciąż za dużo. Więc zbijam jeszcze raz i okazuje się, że \(\displaystyle{ \tg \left( \frac{5}{6}\pi \right) =\tg\left( \pi - \frac{1}{6} \pi\right) }\). Czyli mamy \(\displaystyle{ \tg \left( \frac{-\pi}{6}\right) }\)
tego nie kupuję. Nie wiem za bardzo o czym mówisz i może to jest nawet sensowne ale ja nigdy nie lubiłem tych wierszyków "w pierwszej wszystkie są dodatnie...". Po prostu wiemy, że funkcja \(\displaystyle{ \tg}\) jest nieparzysta więc wypluwa minusa zatem \(\displaystyle{ \tg \left( \frac{-\pi}{6}\right)=-\tg \left( \frac{\pi}{6}\right) }\) a to co po prawej już jest znane z tablic. I mamy odpowiedź, czyli wszyło na to samo.leżący w drugiej ćwiartce układu współrzędnych. Jako, że w tej ćwiartce tangensy są ujemne to mamy \(\displaystyle{ -\tg \frac{\pi}{6} }\). I ponieważ wielokrotność dwóch pi była parzysta, nie zmieniamy tangensa na cotangens i ostatecznie wychodzi nam \(\displaystyle{ - \frac{ \sqrt{3} }{3}}\).
- Niepokonana
- Użytkownik
- Posty: 1548
- Rejestracja: 4 sie 2019, o 11:12
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Polska
- Podziękował: 337 razy
- Pomógł: 20 razy
Re: Miara łukowa kąta
Zbijanie kąta, czyli po prostu zbijamy jego wielkość z bardzo dużego kąta do małego kąta, który ma takie samo ramię końcowe. Oczywiście zaczynamy na osi x. To dobrze myślę czy źle? Bo nie wiem.
Panie Tracz, ja jeszcze nie miałam wykresów funkcji, więc nie wiem, jak ona wygląda.
Ale kiedy zmieniamy funkcję na kofunkcję? Dobrze myślę?
Dodano po 28 sekundach:
A co do zbijania funkcji tak szybko i od razu, to będę tak szybko robić, jak to dobrze zrozumiem.
Panie Tracz, ja jeszcze nie miałam wykresów funkcji, więc nie wiem, jak ona wygląda.
Ale kiedy zmieniamy funkcję na kofunkcję? Dobrze myślę?
Dodano po 28 sekundach:
A co do zbijania funkcji tak szybko i od razu, to będę tak szybko robić, jak to dobrze zrozumiem.
- Niepokonana
- Użytkownik
- Posty: 1548
- Rejestracja: 4 sie 2019, o 11:12
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Polska
- Podziękował: 337 razy
- Pomógł: 20 razy
Re: Miara łukowa kąta
Panie Januszu, nie jesteśmy na studiach. To jest druga klasa liceum. Jeżeli Pan mi nie chce pomóc to trudno.
To w końcu dobrze myślę czy nie? A nie redukujemy jej do poniżej \(\displaystyle{ 2\pi}\) a potem do pół \(\displaystyle{ \pi}\)? Jakiej pierwszej ćwiartki?
To w końcu dobrze myślę czy nie? A nie redukujemy jej do poniżej \(\displaystyle{ 2\pi}\) a potem do pół \(\displaystyle{ \pi}\)? Jakiej pierwszej ćwiartki?
- Janusz Tracz
- Użytkownik
- Posty: 4065
- Rejestracja: 13 sie 2016, o 15:01
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: hrubielowo
- Podziękował: 80 razy
- Pomógł: 1392 razy
Re: Miara łukowa kąta
Prawdopodobnie wszyscy wiedzą o co Ci chodzi. Ważne jest abyś sama wiedziała o jaką procedurę chodzi niezależnie od jej nazwy. Można to powiedzieć dokładniej bez mówienia o ramieniu i jego długości bo to nie jest tu istotne. Po prostu chodzi o wyciąganie wielokrotności \(\displaystyle{ 2 \pi }\) lub \(\displaystyle{ \pi }\) w zależności od rodzaju funkcji której wartości liczysz. Pamiętaj (zrozum!), że:Zbijanie kąta, czyli po prostu zbijamy jego wielkość z bardzo dużego kąta do małego kąta, który ma takie samo ramię końcowe. Oczywiście zaczynamy na osi x. To dobrze myślę czy źle? Bo nie wiem.
\(\displaystyle{ 1) }\) Zawsze \(\displaystyle{ \sin \left( \alpha +2k \pi \right) =\sin \alpha }\) analogicznie z funkcją \(\displaystyle{ \cos}\).
\(\displaystyle{ 2)}\) Zawsze \(\displaystyle{ \tg \left( \alpha +k \pi \right) = \tg \alpha }\)
*Oczywiście jest tak "zawsze" gdy spełnione są naturalne założenia dziedzina, \(\displaystyle{ k\in\ZZ}\).
Polecam popatrzeć na wykresy. Niezależnie od programu szkoły. Trygonometrii warto uszyć się symultanicznie z wykresami wtedy nie trzeba nic pamiętać.Panie Tracz, ja jeszcze nie miałam wykresów funkcji, więc nie wiem, jak ona wygląda.
O tym mówią wzory redukcyjne czyli tabelka \(\displaystyle{ 24}\) wzorów skutecznie obrzydzająca trygonometrię każdemu uczniowi już na samym początku nauki. Proponuję przyjrzeć się pierwszemuAle kiedy zmieniamy funkcję na kofunkcję? Dobrze myślę?
Kod: Zaznacz cały
https://pl.wikipedia.org/wiki/To%C5%BCsamo%C5%9Bci_trygonometryczne
\(\displaystyle{ \sin \left( \alpha \red{+} \beta \right)= \sin \alpha \cos \beta \red{+} \sin \beta \cos \alpha }\)
\(\displaystyle{ \sin \left( \alpha \blue{-} \beta \right)= \sin \alpha \cos \beta \blue{-} \sin \beta \cos \alpha }\)
\(\displaystyle{ \cos \left( \alpha \red{+} \beta \right)= \cos \alpha \cos \beta \blue{-} \sin \beta \sin \alpha }\)
\(\displaystyle{ \cos \left( \alpha \blue{-} \beta \right)= \cos \alpha \cos \beta \red{+} \sin \beta \sin \alpha }\)
Nie zapamiętuj ich tylko je zrozum, jeśli Ci się nie uda za pierwszym razem to nic nie szkodzi. To są najważniejsze wzory całej trygonometrii cała reszta to już tylko wniosek z nich i wykresów, jedynkę trygonometryczną masz w sekundę jak wstawisz \(\displaystyle{ \alpha = \beta }\) do ostatniego, wzory na podwojony kat masz jak wstawisz \(\displaystyle{ \alpha = \beta }\) do pieszego i trzeciego. No i oczywiście cała tabelka wzorów \(\displaystyle{ 24}\) redukcyjnych też w nich siedzi tylko trzeba postawiać za \(\displaystyle{ \alpha , \beta }\) to co potrzebujesz. Chesz wzory na sume sinusów czy cosinusów też możesz je wyprowadzić. Nic nie trzeba tu pamiętać.
Można zbijać tylko trzeba powiedzieć co to znaczy nawet, jeśli miałby to być opis słowny i kulawy na początku to potem definicję można uściślić. Na przykład niech zbijanie kąta \(\displaystyle{ \alpha }\) oznacza wyliczenie wartości funkcja zbijania \(\displaystyle{ \text{zbijam} _{2 \pi }( \alpha )= \alpha \mod 2 \pi }\). Można to inaczej zdefiniować, niech się Niepokonana bawi matematyką, albo niech sama zdecyduje co jej bardziej odpowiada.Zbijać możemy się piłką, bawiąc się w dwa ognie.
Proszę używać słów przyjętych w matematyce.
- Niepokonana
- Użytkownik
- Posty: 1548
- Rejestracja: 4 sie 2019, o 11:12
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Polska
- Podziękował: 337 razy
- Pomógł: 20 razy
Re: Miara łukowa kąta
Panie Tracz, ja tych wzorów jeszcze nie miałam, miałam tylko, że kąty można zbijać/dzielić modulo przez okrąg. Mógłby mi Pan wyjaśnić prościej, kiedy zamienia się na kofunkcję, a kiedy się zostawia?
- Niepokonana
- Użytkownik
- Posty: 1548
- Rejestracja: 4 sie 2019, o 11:12
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Polska
- Podziękował: 337 razy
- Pomógł: 20 razy
Re: Miara łukowa kąta
pipóła czyli połowy pi?
Ostatnio zmieniony 19 lut 2020, o 20:11 przez Niepokonana, łącznie zmieniany 1 raz.
-
- Administrator
- Posty: 34240
- Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 3 razy
- Pomógł: 5203 razy
- Niepokonana
- Użytkownik
- Posty: 1548
- Rejestracja: 4 sie 2019, o 11:12
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Polska
- Podziękował: 337 razy
- Pomógł: 20 razy
-
- Użytkownik
- Posty: 7917
- Rejestracja: 18 mar 2009, o 16:24
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 30 razy
- Pomógł: 1671 razy
Re: Miara łukowa kąta
To nie są studia, to pierwsza klasa szkoły średniej.
\(\displaystyle{ (90^{o} \pm \alpha ) \ \ \sin \rightarrow \cos , \ \ \cos \rightarrow \sin, \ \ \tg \rightarrow \ctg, \ \ \ctg \rightarrow \tg }\)
\(\displaystyle{ (180^{o} \pm \alpha ) \ \ \sin \rightarrow \sin , \ \ \cos \rightarrow \cos, \ \ \tg \rightarrow \tg, \ \ \ctg \rightarrow \ctg }\)
\(\displaystyle{ (270^{o} \pm \alpha ) \ \ \sin \rightarrow \cos , \ \ \cos \rightarrow \sin, \ \ \tg \rightarrow \ctg, \ \ \ctg \rightarrow \tg }\)
\(\displaystyle{ (360^{o} \pm \alpha ) \ \ \sin \rightarrow \sin , \ \ \cos \rightarrow \cos, \ \ \tg \rightarrow \tg, \ \ \ctg \rightarrow \ctg }\)
Ćwiartki koła
I \(\displaystyle{ + + + + }\)
II \(\displaystyle{ + - - - }\)
III \(\displaystyle{ - - + + }\)
IV \(\displaystyle{ - + - -}\)
\(\displaystyle{ \sin(-\alpha) = -\sin(\alpha), \ \ \cos(-\alpha) = \cos(\alpha), \ \ \tg(-\alpha) = -\tg(\alpha), \ \ \ctg(-\alpha) = -\ctg(\alpha).}\)
Przykłady
Oblicz, stosując wzory redukcyjne
\(\displaystyle{ \sin(510^{o}) = \sin ( 360^{o} + 150^{o}) = \sin(150^{o}) = \sin(180^{o}-30^{o}) = + \sin 30^{o} = \frac{1}{2} }\)
\(\displaystyle{ + }\) bo sinus w drugiej ćwiartce jest dodatni.
lub
\(\displaystyle{ \sin(510^{o}) = \sin ( 360^{o} + 150^{o}) = \sin(150^{o}) = \sin(90^{o}+60^{o}) =+ \cos 60^{o} = \frac{1}{2} }\)
\(\displaystyle{ \cos(675^{o}) = \cos( 2\cdot 360^{o} - 45^{o}) = + \cos (45^{o}) = \frac{\sqrt{2}}{2} }\)
Bo wykonaliśmy dwa pełne obiegi i zniżyliśmy się do \(\displaystyle{ IV }\) ćwiartki o kąt \(\displaystyle{ 45^{o}.}\)
W czwartej ćwiartce kosinus jest dodatni.
\(\displaystyle{ \tg(1020^{o}) = \tg(6\cdot 180^{o} - 60^{o}) = -\tg(60^{o}) = -\sqrt{3} }\)
\(\displaystyle{ - }\) bo tangens w \(\displaystyle{ IV }\) ćwiartce jest ujemny.
lub
\(\displaystyle{ \tg(1020^{o}) = \tg(5\cdot 180^{o} + 120^{o}) = -\tg(120^{o}) = -\tg(90^{o}+30^{o}) = -\ctg(30^o) = -\sqrt{3} }\)
Dodano po 19 minutach 51 sekundach:
Zamiana miary stopniowej na miarę łukową kąta.
\(\displaystyle{ \alpha = \alpha^{o}\cdot\frac{\pi}{180^{o}} rad. }\)
Zamiana miary łukowej na miarę stopniową
\(\displaystyle{ \alpha^{o} = \alpha \cdot \frac{180^{o}}{\pi}. }\)
Dodano po 17 minutach 40 sekundach:
Przykłady
\(\displaystyle{ \alpha^{o} = 300^{o} }\)
\(\displaystyle{ \alpha = 300^{o}\cdot \frac{\pi}{180^{o}} = \frac{5}{3} \pi \ \ rad.}\)
\(\displaystyle{ \alpha = \frac{7}{8} \pi }\)
\(\displaystyle{ \alpha^{o} = \frac{7}{8}\pi \cdot \frac{180^{o}}{\pi} = 157,5^{o}. }\)
\(\displaystyle{ (90^{o} \pm \alpha ) \ \ \sin \rightarrow \cos , \ \ \cos \rightarrow \sin, \ \ \tg \rightarrow \ctg, \ \ \ctg \rightarrow \tg }\)
\(\displaystyle{ (180^{o} \pm \alpha ) \ \ \sin \rightarrow \sin , \ \ \cos \rightarrow \cos, \ \ \tg \rightarrow \tg, \ \ \ctg \rightarrow \ctg }\)
\(\displaystyle{ (270^{o} \pm \alpha ) \ \ \sin \rightarrow \cos , \ \ \cos \rightarrow \sin, \ \ \tg \rightarrow \ctg, \ \ \ctg \rightarrow \tg }\)
\(\displaystyle{ (360^{o} \pm \alpha ) \ \ \sin \rightarrow \sin , \ \ \cos \rightarrow \cos, \ \ \tg \rightarrow \tg, \ \ \ctg \rightarrow \ctg }\)
Ćwiartki koła
I \(\displaystyle{ + + + + }\)
II \(\displaystyle{ + - - - }\)
III \(\displaystyle{ - - + + }\)
IV \(\displaystyle{ - + - -}\)
\(\displaystyle{ \sin(-\alpha) = -\sin(\alpha), \ \ \cos(-\alpha) = \cos(\alpha), \ \ \tg(-\alpha) = -\tg(\alpha), \ \ \ctg(-\alpha) = -\ctg(\alpha).}\)
Przykłady
Oblicz, stosując wzory redukcyjne
\(\displaystyle{ \sin(510^{o}) = \sin ( 360^{o} + 150^{o}) = \sin(150^{o}) = \sin(180^{o}-30^{o}) = + \sin 30^{o} = \frac{1}{2} }\)
\(\displaystyle{ + }\) bo sinus w drugiej ćwiartce jest dodatni.
lub
\(\displaystyle{ \sin(510^{o}) = \sin ( 360^{o} + 150^{o}) = \sin(150^{o}) = \sin(90^{o}+60^{o}) =+ \cos 60^{o} = \frac{1}{2} }\)
\(\displaystyle{ \cos(675^{o}) = \cos( 2\cdot 360^{o} - 45^{o}) = + \cos (45^{o}) = \frac{\sqrt{2}}{2} }\)
Bo wykonaliśmy dwa pełne obiegi i zniżyliśmy się do \(\displaystyle{ IV }\) ćwiartki o kąt \(\displaystyle{ 45^{o}.}\)
W czwartej ćwiartce kosinus jest dodatni.
\(\displaystyle{ \tg(1020^{o}) = \tg(6\cdot 180^{o} - 60^{o}) = -\tg(60^{o}) = -\sqrt{3} }\)
\(\displaystyle{ - }\) bo tangens w \(\displaystyle{ IV }\) ćwiartce jest ujemny.
lub
\(\displaystyle{ \tg(1020^{o}) = \tg(5\cdot 180^{o} + 120^{o}) = -\tg(120^{o}) = -\tg(90^{o}+30^{o}) = -\ctg(30^o) = -\sqrt{3} }\)
Dodano po 19 minutach 51 sekundach:
Zamiana miary stopniowej na miarę łukową kąta.
\(\displaystyle{ \alpha = \alpha^{o}\cdot\frac{\pi}{180^{o}} rad. }\)
Zamiana miary łukowej na miarę stopniową
\(\displaystyle{ \alpha^{o} = \alpha \cdot \frac{180^{o}}{\pi}. }\)
Dodano po 17 minutach 40 sekundach:
Przykłady
\(\displaystyle{ \alpha^{o} = 300^{o} }\)
\(\displaystyle{ \alpha = 300^{o}\cdot \frac{\pi}{180^{o}} = \frac{5}{3} \pi \ \ rad.}\)
\(\displaystyle{ \alpha = \frac{7}{8} \pi }\)
\(\displaystyle{ \alpha^{o} = \frac{7}{8}\pi \cdot \frac{180^{o}}{\pi} = 157,5^{o}. }\)
- Niepokonana
- Użytkownik
- Posty: 1548
- Rejestracja: 4 sie 2019, o 11:12
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Polska
- Podziękował: 337 razy
- Pomógł: 20 razy
Re: Miara łukowa kąta
Tak proszę Pana, to jest liceum.
Umiem zamieniać na radiany i stopnie. Ale dzięki za wyjaśnienie tego liczenia.
Umiem zamieniać na radiany i stopnie. Ale dzięki za wyjaśnienie tego liczenia.