Miara łukowa kąta

[Niepokonana]

Witam
Nie chcę zaspamiać forum, ale mam problem, bo nie wiem, czy dobrze rozumiem. Proszę o pomoc.

Weźmy sobie takie coś. Oblicz \(\displaystyle{ \tg \frac{5}{6}\pi }\). Nie wiem, czy myślę dobrze, czy mi wychodzi dobrze przez przypadek.
Najpierw zbijamy kąt do poniżej \(\displaystyle{ 2\pi}\). Ten jest już zbity i wielokrotność dwóch pi wynosi w jego przypadku \(\displaystyle{ 0}\).
No i w której ćwiartce układu współrzędnych leży ramię końcowe takiego kąta. Myślę, że w drugiej ćwiartce, w sensie tej w lewym górnym rogu.
Ale tyle kąta to wciąż za dużo. Więc zbijam jeszcze raz i okazuje się, że \(\displaystyle{ \tg \frac{5}{6}\pi = \tg \left( \pi - \frac{1}{6} \pi \right)}\). Czyli mamy\(\displaystyle{ \tg \left(- \frac{1}{6}\pi \right)}\) leżący w drugiej ćwiartce układu współrzędnych. Jako, że w tej ćwiartce tangensy są ujemne to mamy \(\displaystyle{ -\tg \frac{1}{6}\pi}\). I ponieważ wielokrotność dwóch pi była parzysta, nie zmieniamy tangensa na cotangens i ostatecznie wychodzi nam \(\displaystyle{ - \frac{ \sqrt{3} }{3} }\).

Dobrze myślę, czy źle? Proszę o odpowiedź, bo nie wiem.

[janusz47]

Co to jest zbijanie kąta? Skąd takie słownictwo?

Dodano po 24 minutach 57 sekundach:
Korzystamy ze wzorów redukcyjnych, sprowadzających miary kątów do miar kątów - pierwszej ćwiartki.

\(\displaystyle{ \tg\left(\frac{5}{6}\pi \right) = \tg \left( \pi - \frac{1}{6}\pi \right) = -tg \left(\frac{1}{6}\pi \right) = -\frac{\sqrt{3}}{3}. }\)

lub

\(\displaystyle{ \tg\left(\frac{5}{6}\pi \right) = \tg \left ( \frac{\pi}{2} + \frac{1}{3}\pi \right) = -\ctg \left( \frac{1}{3}\pi \right) = -\frac{\sqrt{3}}{3}.}\)

[Janusz Tracz]

Co to jest zbijanie kąta?

Pewnie branie wartości \(\displaystyle{ \alpha \mod 2 \pi }\) zamiast \(\displaystyle{ \alpha }\)

Skąd takie słownictwo?

Pewnie wymyślone w twórczym i elastycznym procesie edukacji. Czy to coś złego wymyślać nazwę szczególnie wtedy gdy lepiej oddaje proces/ algorytm?

Oblicz \(\displaystyle{ \tg \frac{5 \pi }{6} }\). Nie wiem, czy myślę dobrze, czy mi wychodzi dobrze przez przypadek. Najpierw zbijamy kąt do poniżej \(\displaystyle{ 2 \pi }\).

Możesz tak robić, że najpierw zbijasz wartość wyciągając wielokrotności \(\displaystyle{ 2 \pi }\) ale w przypadku tangensa który jest okresowy od razu możesz zbijać kąt wyciągając całości \(\displaystyle{ \pi }\). Wynika to z faktu \(\displaystyle{ \tg \left( \alpha +k \pi \right)=\tg \alpha }\). Wszak potem i tak to robisz (więc czemu nie zrobić tego zbijanie w jednym kroku)

Ale tyle kąta to wciąż za dużo. Więc zbijam jeszcze raz i okazuje się, że \(\displaystyle{ \tg \left( \frac{5}{6}\pi \right) =\tg\left( \pi - \frac{1}{6} \pi\right) }\). Czyli mamy \(\displaystyle{ \tg \left( \frac{-\pi}{6}\right) }\)

Właśnie. To można było zrobić zbijaniem \(\displaystyle{ \pi }\). Oszczędzisz tym sobie sporo czasu. Natomiast

leżący w drugiej ćwiartce układu współrzędnych. Jako, że w tej ćwiartce tangensy są ujemne to mamy \(\displaystyle{ -\tg \frac{\pi}{6} }\). I ponieważ wielokrotność dwóch pi była parzysta, nie zmieniamy tangensa na cotangens i ostatecznie wychodzi nam \(\displaystyle{ - \frac{ \sqrt{3} }{3}}\).

tego nie kupuję. Nie wiem za bardzo o czym mówisz i może to jest nawet sensowne ale ja nigdy nie lubiłem tych wierszyków "w pierwszej wszystkie są dodatnie...". Po prostu wiemy, że funkcja \(\displaystyle{ \tg}\) jest nieparzysta więc wypluwa minusa zatem \(\displaystyle{ \tg \left( \frac{-\pi}{6}\right)=-\tg \left( \frac{\pi}{6}\right) }\) a to co po prawej już jest znane z tablic. I mamy odpowiedź, czyli wszyło na to samo.

[Niepokonana]

Zbijanie kąta, czyli po prostu zbijamy jego wielkość z bardzo dużego kąta do małego kąta, który ma takie samo ramię końcowe. Oczywiście zaczynamy na osi x. To dobrze myślę czy źle? Bo nie wiem.

Panie Tracz, ja jeszcze nie miałam wykresów funkcji, więc nie wiem, jak ona wygląda.

Ale kiedy zmieniamy funkcję na kofunkcję? Dobrze myślę?

Dodano po 28 sekundach:
A co do zbijania funkcji tak szybko i od razu, to będę tak szybko robić, jak to dobrze zrozumiem.

[janusz47]

Zbijać możemy się piłką, bawiąc się w dwa ognie.

Proszę używać słów przyjętych w matematyce. Redukujemy miarę kąta do kąta pierwszej ćwiartki.

[Niepokonana]

Panie Januszu, nie jesteśmy na studiach. To jest druga klasa liceum. Jeżeli Pan mi nie chce pomóc to trudno.
To w końcu dobrze myślę czy nie? A nie redukujemy jej do poniżej \(\displaystyle{ 2\pi}\) a potem do pół \(\displaystyle{ \pi}\)? Jakiej pierwszej ćwiartki?

[Janusz Tracz]

Zbijanie kąta, czyli po prostu zbijamy jego wielkość z bardzo dużego kąta do małego kąta, który ma takie samo ramię końcowe. Oczywiście zaczynamy na osi x. To dobrze myślę czy źle? Bo nie wiem.

Prawdopodobnie wszyscy wiedzą o co Ci chodzi. Ważne jest abyś sama wiedziała o jaką procedurę chodzi niezależnie od jej nazwy. Można to powiedzieć dokładniej bez mówienia o ramieniu i jego długości bo to nie jest tu istotne. Po prostu chodzi o wyciąganie wielokrotności \(\displaystyle{ 2 \pi }\) lub \(\displaystyle{ \pi }\) w zależności od rodzaju funkcji której wartości liczysz. Pamiętaj (zrozum!), że:

\(\displaystyle{ 1) }\) Zawsze \(\displaystyle{ \sin \left( \alpha +2k \pi \right) =\sin \alpha }\) analogicznie z funkcją \(\displaystyle{ \cos}\).

\(\displaystyle{ 2)}\) Zawsze \(\displaystyle{ \tg \left( \alpha +k \pi \right) = \tg \alpha }\)

*Oczywiście jest tak "zawsze" gdy spełnione są naturalne założenia dziedzina, \(\displaystyle{ k\in\ZZ}\).

Panie Tracz, ja jeszcze nie miałam wykresów funkcji, więc nie wiem, jak ona wygląda.

Polecam popatrzeć na wykresy. Niezależnie od programu szkoły. Trygonometrii warto uszyć się symultanicznie z wykresami wtedy nie trzeba nic pamiętać.

Ale kiedy zmieniamy funkcję na kofunkcję? Dobrze myślę?

O tym mówią wzory redukcyjne czyli tabelka \(\displaystyle{ 24}\) wzorów skutecznie obrzydzająca trygonometrię każdemu uczniowi już na samym początku nauki. Proponuję przyjrzeć się pierwszemu

Kod: Zaznacz cały

https://pl.wikipedia.org/wiki/To%C5%BCsamo%C5%9Bci_trygonometryczne

wynikają z niego dwa bardzo ważne wzory i kolejnego obrazka wynikają jeszcze dwa, mianowicie

\(\displaystyle{ \sin \left( \alpha \red{+} \beta \right)= \sin \alpha \cos \beta \red{+} \sin \beta \cos \alpha }\)

\(\displaystyle{ \sin \left( \alpha \blue{-} \beta \right)= \sin \alpha \cos \beta \blue{-} \sin \beta \cos \alpha }\)

\(\displaystyle{ \cos \left( \alpha \red{+} \beta \right)= \cos \alpha \cos \beta \blue{-} \sin \beta \sin \alpha }\)

\(\displaystyle{ \cos \left( \alpha \blue{-} \beta \right)= \cos \alpha \cos \beta \red{+} \sin \beta \sin \alpha }\)

Nie zapamiętuj ich tylko je zrozum, jeśli Ci się nie uda za pierwszym razem to nic nie szkodzi. To są najważniejsze wzory całej trygonometrii cała reszta to już tylko wniosek z nich i wykresów, jedynkę trygonometryczną masz w sekundę jak wstawisz \(\displaystyle{ \alpha = \beta }\) do ostatniego, wzory na podwojony kat masz jak wstawisz \(\displaystyle{ \alpha = \beta }\) do pieszego i trzeciego. No i oczywiście cała tabelka wzorów \(\displaystyle{ 24}\) redukcyjnych też w nich siedzi tylko trzeba postawiać za \(\displaystyle{ \alpha , \beta }\) to co potrzebujesz. Chesz wzory na sume sinusów czy cosinusów też możesz je wyprowadzić. Nic nie trzeba tu pamiętać.

Zbijać możemy się piłką, bawiąc się w dwa ognie.
Proszę używać słów przyjętych w matematyce.

Można zbijać tylko trzeba powiedzieć co to znaczy nawet, jeśli miałby to być opis słowny i kulawy na początku to potem definicję można uściślić. Na przykład niech zbijanie kąta \(\displaystyle{ \alpha }\) oznacza wyliczenie wartości funkcja zbijania \(\displaystyle{ \text{zbijam} _{2 \pi }( \alpha )= \alpha \mod 2 \pi }\). Można to inaczej zdefiniować, niech się Niepokonana bawi matematyką, albo niech sama zdecyduje co jej bardziej odpowiada.

[Niepokonana]

Panie Tracz, ja tych wzorów jeszcze nie miałam, miałam tylko, że kąty można zbijać/dzielić modulo przez okrąg. Mógłby mi Pan wyjaśnić prościej, kiedy zamienia się na kofunkcję, a kiedy się zostawia?

[a4karo]

Zmienisz na kofunkcje jak jest jak jest nieparzysta wielokrotnosc pipóła. A jak parzysta, to nie.
Pamiętaj o znakach

[Niepokonana]

pipóła czyli połowy pi?

[a4karo]

Tak się uczylem (ale to była niepoważna matematyka w poważnym instytucie).


Orta zrobiłaś

[Jan Kraszewski]

\(\displaystyle{ \text{pipół}= \frac{\pi}{2} }\)

JK

[Niepokonana]

Czy to w ogóle jest słowo?
A tak dziękuję Panu.

[janusz47]

To nie są studia, to pierwsza klasa szkoły średniej.

\(\displaystyle{ (90^{o} \pm \alpha ) \ \ \sin \rightarrow \cos , \ \ \cos \rightarrow \sin, \ \ \tg \rightarrow \ctg, \ \ \ctg \rightarrow \tg }\)

\(\displaystyle{ (180^{o} \pm \alpha ) \ \ \sin \rightarrow \sin , \ \ \cos \rightarrow \cos, \ \ \tg \rightarrow \tg, \ \ \ctg \rightarrow \ctg }\)

\(\displaystyle{ (270^{o} \pm \alpha ) \ \ \sin \rightarrow \cos , \ \ \cos \rightarrow \sin, \ \ \tg \rightarrow \ctg, \ \ \ctg \rightarrow \tg }\)

\(\displaystyle{ (360^{o} \pm \alpha ) \ \ \sin \rightarrow \sin , \ \ \cos \rightarrow \cos, \ \ \tg \rightarrow \tg, \ \ \ctg \rightarrow \ctg }\)


Ćwiartki koła

I \(\displaystyle{ + + + + }\)

II \(\displaystyle{ + - - - }\)

III \(\displaystyle{ - - + + }\)

IV \(\displaystyle{ - + - -}\)


\(\displaystyle{ \sin(-\alpha) = -\sin(\alpha), \ \ \cos(-\alpha) = \cos(\alpha), \ \ \tg(-\alpha) = -\tg(\alpha), \ \ \ctg(-\alpha) = -\ctg(\alpha).}\)


Przykłady

Oblicz, stosując wzory redukcyjne

\(\displaystyle{ \sin(510^{o}) = \sin ( 360^{o} + 150^{o}) = \sin(150^{o}) = \sin(180^{o}-30^{o}) = + \sin 30^{o} = \frac{1}{2} }\)

\(\displaystyle{ + }\) bo sinus w drugiej ćwiartce jest dodatni.

lub

\(\displaystyle{ \sin(510^{o}) = \sin ( 360^{o} + 150^{o}) = \sin(150^{o}) = \sin(90^{o}+60^{o}) =+ \cos 60^{o} = \frac{1}{2} }\)

\(\displaystyle{ \cos(675^{o}) = \cos( 2\cdot 360^{o} - 45^{o}) = + \cos (45^{o}) = \frac{\sqrt{2}}{2} }\)

Bo wykonaliśmy dwa pełne obiegi i zniżyliśmy się do \(\displaystyle{ IV }\) ćwiartki o kąt \(\displaystyle{ 45^{o}.}\)

W czwartej ćwiartce kosinus jest dodatni.

\(\displaystyle{ \tg(1020^{o}) = \tg(6\cdot 180^{o} - 60^{o}) = -\tg(60^{o}) = -\sqrt{3} }\)

\(\displaystyle{ - }\) bo tangens w \(\displaystyle{ IV }\) ćwiartce jest ujemny.

lub

\(\displaystyle{ \tg(1020^{o}) = \tg(5\cdot 180^{o} + 120^{o}) = -\tg(120^{o}) = -\tg(90^{o}+30^{o}) = -\ctg(30^o) = -\sqrt{3} }\)

Dodano po 19 minutach 51 sekundach:
Zamiana miary stopniowej na miarę łukową kąta.

\(\displaystyle{ \alpha = \alpha^{o}\cdot\frac{\pi}{180^{o}} rad. }\)

Zamiana miary łukowej na miarę stopniową

\(\displaystyle{ \alpha^{o} = \alpha \cdot \frac{180^{o}}{\pi}. }\)

Dodano po 17 minutach 40 sekundach:
Przykłady

\(\displaystyle{ \alpha^{o} = 300^{o} }\)

\(\displaystyle{ \alpha = 300^{o}\cdot \frac{\pi}{180^{o}} = \frac{5}{3} \pi \ \ rad.}\)

\(\displaystyle{ \alpha = \frac{7}{8} \pi }\)

\(\displaystyle{ \alpha^{o} = \frac{7}{8}\pi \cdot \frac{180^{o}}{\pi} = 157,5^{o}. }\)

[Niepokonana]

Tak proszę Pana, to jest liceum.
Umiem zamieniać na radiany i stopnie. Ale dzięki za wyjaśnienie tego liczenia.