\(\displaystyle{ \sqrt{3}\cot\frac{\pi}{9}-4\cos\frac{\pi}{9}=1}\)
Jakieś pomysły na elementarne rozwiązanie (tj. bez rozwijania w szeregi tudzież z wykorzystaniem liczb zespolonych)?
Udowodnij tożsamość
-
Janusz Tracz
- Użytkownik
- Posty: 4065
- Rejestracja: 13 sie 2016, o 15:01
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: hrubielowo
- Podziękował: 80 razy
- Pomógł: 1392 razy
Re: Udowodnij tożsamość
\(\displaystyle{ \sqrt{3}\cot\frac{\pi}{9}-4\cos\frac{\pi}{9}=1}\)
\(\displaystyle{ \sqrt{3} \frac{\cos\frac{\pi}{9} }{\sin \frac{\pi}{9}} -4\cos\frac{\pi}{9}=1}\)
\(\displaystyle{ \sqrt{3}\cos\frac{\pi}{9} -4\cos\frac{\pi}{9} \cdot \sin \frac{\pi}{9}=\sin \frac{\pi}{9}}\)
\(\displaystyle{ \sqrt{3}\cos\frac{\pi}{9} -2\sin \frac{2\pi}{9}=\sin \frac{\pi}{9}}\)
\(\displaystyle{ \sqrt{3}\cos\frac{\pi}{9} -\sin \frac{\pi}{9}= 2\sin \frac{2\pi}{9}}\)
Umiesz zwinąć lewą stronę z wzoru \(\displaystyle{ \sqrt{3}\cos x -\sin x=2\cos \left( x+ \frac{\pi}{6} \right) }\)? Zostaje do pokazania, że:
\(\displaystyle{ 2\cos \left( \frac{\pi}{9}+ \frac{\pi}{6} \right)=2\sin \frac{2\pi}{9} }\)
\(\displaystyle{ \sqrt{3} \frac{\cos\frac{\pi}{9} }{\sin \frac{\pi}{9}} -4\cos\frac{\pi}{9}=1}\)
\(\displaystyle{ \sqrt{3}\cos\frac{\pi}{9} -4\cos\frac{\pi}{9} \cdot \sin \frac{\pi}{9}=\sin \frac{\pi}{9}}\)
\(\displaystyle{ \sqrt{3}\cos\frac{\pi}{9} -2\sin \frac{2\pi}{9}=\sin \frac{\pi}{9}}\)
\(\displaystyle{ \sqrt{3}\cos\frac{\pi}{9} -\sin \frac{\pi}{9}= 2\sin \frac{2\pi}{9}}\)
Umiesz zwinąć lewą stronę z wzoru \(\displaystyle{ \sqrt{3}\cos x -\sin x=2\cos \left( x+ \frac{\pi}{6} \right) }\)? Zostaje do pokazania, że:
\(\displaystyle{ 2\cos \left( \frac{\pi}{9}+ \frac{\pi}{6} \right)=2\sin \frac{2\pi}{9} }\)