Gdzie jest błąd w rozwiązaniu tego zadania trygonometrycznego?

[cmnstrnbnn]

Rozwiąż równanie \(\displaystyle{ \sin x+\cos x=1}\)
\(\displaystyle{ (\sin x+\cos x)^{2}=1}\)
\(\displaystyle{ \sin^{2} x+\cos^{2} x+2\cos x \sin x=1}\)
\(\displaystyle{ 2\sin x \cos x=0}\)
\(\displaystyle{ \sin 2x=0}\)
więc mamy \(\displaystyle{ x=k\pi}\) gdzie \(\displaystyle{ k \in C}\)

Lecz w odpowiedziach i u większości znajomych odpowiedź wychodzi \(\displaystyle{ x=\frac{\pi}{2}+2k\pi}\) lub \(\displaystyle{ x=2k\pi}\), gdzie \(\displaystyle{ k \in C }\)

[Jan Kraszewski]

Po pierwsze, rozwiązanie równania \(\displaystyle{ \sin 2x=0}\) to \(\displaystyle{ 2x=k\pi}\) gdzie \(\displaystyle{ k \in \ZZ}\), więc \(\displaystyle{ x=\frac{k\pi}{2}}\) gdzie \(\displaystyle{ k \in \ZZ}\).

Po drugie

Rozwiąż równanie \(\displaystyle{ \sin x+\cos x=1}\)
\(\displaystyle{ (\sin x+\cos x)^{2}=1}\)

podnoszenie obustronnie równości do kwadratu w ogólności nie jest przejściem równoważnym - dostałeś tutaj "obce pierwiastki".

JK