Gdzie jest błąd w rozwiązaniu tego zadania trygonometrycznego?

Własności funkcji trygonometrycznych i cyklometrycznych. Tożsamości. RÓWNANIA I NIERÓWNOŚCI.
cmnstrnbnn
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 13
Rejestracja: 4 mar 2019, o 20:45
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Lublin
Podziękował: 7 razy

Gdzie jest błąd w rozwiązaniu tego zadania trygonometrycznego?

Post autor: cmnstrnbnn » 25 sty 2020, o 23:05

Rozwiąż równanie \(\displaystyle{ \sin x+\cos x=1}\)
\(\displaystyle{ (\sin x+\cos x)^{2}=1}\)
\(\displaystyle{ \sin^{2} x+\cos^{2} x+2\cos x \sin x=1}\)
\(\displaystyle{ 2\sin x \cos x=0}\)
\(\displaystyle{ \sin 2x=0}\)
więc mamy \(\displaystyle{ x=k\pi}\) gdzie \(\displaystyle{ k \in C}\)

Lecz w odpowiedziach i u większości znajomych odpowiedź wychodzi \(\displaystyle{ x=\frac{\pi}{2}+2k\pi}\) lub \(\displaystyle{ x=2k\pi}\), gdzie \(\displaystyle{ k \in C }\)
Rekrutacja Instytut Matematyczny, Uniwersytet Wrocławski (gif)

Jan Kraszewski
Administrator
Administrator
Posty: 26429
Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 4422 razy

Re: Gdzie jest błąd w rozwiązaniu tego zadania trygonometrycznego?

Post autor: Jan Kraszewski » 25 sty 2020, o 23:13

Po pierwsze, rozwiązanie równania \(\displaystyle{ \sin 2x=0}\) to \(\displaystyle{ 2x=k\pi}\) gdzie \(\displaystyle{ k \in \ZZ}\), więc \(\displaystyle{ x=\frac{k\pi}{2}}\) gdzie \(\displaystyle{ k \in \ZZ}\).

Po drugie
cmnstrnbnn pisze:
25 sty 2020, o 23:05
Rozwiąż równanie \(\displaystyle{ \sin x+\cos x=1}\)
\(\displaystyle{ (\sin x+\cos x)^{2}=1}\)
podnoszenie obustronnie równości do kwadratu w ogólności nie jest przejściem równoważnym - dostałeś tutaj "obce pierwiastki".

JK

ODPOWIEDZ