Równanie trygonometryczne- problem.

[mich12]

Rozwiąż równanie:

\(\displaystyle{ \sin x = \frac{ \sqrt{2} }{2} +\cos x }\)

Czemu to rozwiązanie jest złe?
Wstawiam sinusa do jedynki trygonometrycznej, więc po rozpisaniu mi wychodzi:
\(\displaystyle{ \frac{1}{2} + \sqrt{2} \cos x + \cos^{2}x + \cos^{2}x = 1 }\)

Dalej upraszczam, wychodzi równanie kwadratowe, jednak wyniki są złe...

Proszę o pomoc

[Gosda]

Pojawiają się pierwiastki obce, to znaczy rozwiązania równania

\(\displaystyle{ - \sin x = \frac{\sqrt 2}{2} + \cos x}\),

bo podnosząc do kwadratu ginie informacja o znaku liczby.

[JHN]

Równanie:

\(\displaystyle{ \sin x = \frac{ \sqrt{2} }{2} +\cos x }\)

Jest równoważne:

\(\displaystyle{ \sin x\cdot\frac{\sqrt{2}}{2}-\cos x\cdot\frac{\sqrt{2}}{2}=\frac{1}{2} }\)

czyli

\(\displaystyle{ \sin\left(x-\frac{\pi}{4}\right)=\frac{1}{2}}\)

POzdrawiam

[janusz47]

\(\displaystyle{ \sin(x) = \frac{\sqrt{2}}{2} +\cos(x) ,\ \ x\in \RR }\)

\(\displaystyle{ \sin(x) - \cos(x) = \frac{\sqrt{2}}{2} }\)

\(\displaystyle{ \sin(x) - \sin \left(\frac{\pi}{2} -x \right) = \frac{\sqrt{2}}{2} }\)

\(\displaystyle{ 2\sin\left(\frac{x -\frac{\pi}{2} + x }{2} \right) \cos\left( \frac{x + \frac{\pi}{2} - x }{2} \right) = \frac{\sqrt{2}}{2} }\)

\(\displaystyle{ 2\sin\left(x -\frac{\pi}{4}\right) \cos\left( \frac{\pi}{4}\right) =\frac{\sqrt{2}}{2}}\)

\(\displaystyle{ 2\sin\left(x - \frac{\pi}{4}\right)\cdot \frac{\sqrt{2}}{2} =\frac{\sqrt{2}}{2} }\)

\(\displaystyle{ 2\sin\left( x -\frac{\pi}{4} \right) = 1 }\)

\(\displaystyle{ \sin(\left(x - \frac{\pi}{4} \right) = \frac{1}{2}. }\)

[a4karo]

Przeciez to już napisał JHN

[janusz47]

JHN rozwiązał zadanie "trickiem" - mnożąc obie jego strony przez \(\displaystyle{ \frac{\sqrt{2}}{2}. }\)

Rozwiązanie drugie jest rozwiązaniem klasycznym.

"Lepiej rozwiązać jedno zadanie kilkoma sposobami niż kilka zadań jednym sposobem."

[a4karo]

Rozwiąż równanie:

\(\displaystyle{ \sin x = \frac{ \sqrt{2} }{2} +\cos x }\)

Czemu to rozwiązanie jest złe?
Wstawiam sinusa do jedynki trygonometrycznej, więc po rozpisaniu mi wychodzi:
\(\displaystyle{ \frac{1}{2} + \sqrt{2} \cos x + \cos^{2}x + \cos^{2}x = 1 }\)

Dalej upraszczam, wychodzi równanie kwadratowe, jednak wyniki są złe...

Proszę o pomoc

Bo sobie na maksa życie utrudniłeś. Przepisz równanie w postaci
$$\sin x-\cos x= \frac{ \sqrt{2} }{2},$$
teraz podnieś do kwadratu i dostaniesz
$$1-2\sin x\cos x=\frac{1}{2}$$
lub
$$\sin 2x=\frac{1}{2}=\sin \frac{\pi}{6}.$$

Teraz wystarczy odsiać obce pierwiastki.

[JHN]

JHN rozwiązał zadanie "trickiem"

To nie trick, ale fakt: Równanie
\(\displaystyle{ a\sin x \pm b\cos x = c\wedge a>0\wedge b>0}\)
jest równoważne równaniu
\(\displaystyle{ \sin\left(x\pm \alpha\right)=\frac{c}{\sqrt{a^2+b^2}}}\)
gdzie
\(\displaystyle{ \alpha\in \left(0;\ {\pi\over 2}\right) \wedge \tg\alpha=\frac{b}{a}}\)

Rozwiązanie drugie jest rozwiązaniem klasycznym

Każde rozwiązanie jest dobre, jeśli prowadzi do poprawnej odpowiedzi!

"Lepiej rozwiązać jedno zadanie kilkoma sposobami niż kilka zadań jednym sposobem."

Pełna zgoda!

Pozdrawiam