Wyznaczyć zbiór wartości funkcji:
\(\displaystyle{ f(x)=\sqrt{\sin x}+\sqrt{\cos x}}\)
Czy można to oszacować jakoś bez użycia pochodnych?
Wyznaczyć zbiór wartości funkcji
- Premislav
- Użytkownik
- Posty: 15685
- Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 195 razy
- Pomógł: 5219 razy
Re: Wyznaczyć zbiór wartości funkcji
Wystarczy rozważyć \(\displaystyle{ x\in \left[0, \frac{\pi}{2}\right]}\).
\(\displaystyle{ \sqrt{\sin x}+\sqrt{\cos x}\le 2\sqrt{\frac{\cos x+\sin x}{2}}=\sqrt{2}\cdot \sqrt{2\sin \left(\frac{\pi}{4}\right)\cos\left(x-\frac{\pi}{4}\right)}\\\le 2^{\frac{3}{4}}}\)
Pierwsza nierówność wynika z nierówności między średnią arytmetyczną a kwadratową, potem skorzystałem ze wzoru na sumę sinusów:
\(\displaystyle{ \sin x+\sin y=2\sin\left(\frac{x+y}{2}\right)\cos\left(\frac{x-y}{2}\right)}\)
przy czym \(\displaystyle{ y=\frac{\pi}{2}-x}\).
Równość w obu nierównościach zachodzi dla \(\displaystyle{ x=\frac{\pi}{4}}\).
Ponadto jeśli \(\displaystyle{ y\in [0,1]}\), to mamy \(\displaystyle{ y^{2}\le \sqrt{y}}\) i stąd:
\(\displaystyle{ 1=\sin^{2} x+\cos^{2}x\le \sqrt{\sin x}+\sqrt{\cos x}}\) i równość zachodzi na przykład dla \(\displaystyle{ x=0}\).
Pozostaje stwierdzić, że funkcja \(\displaystyle{ f(x)=\sqrt{\sin x}+\sqrt{\cos x}}\), jako funkcja ciągła, ma własność Darboux, więc jej zbiorem wartości jest \(\displaystyle{ \left[1, 2^{\frac{3}{4}}\right]}\).
\(\displaystyle{ \sqrt{\sin x}+\sqrt{\cos x}\le 2\sqrt{\frac{\cos x+\sin x}{2}}=\sqrt{2}\cdot \sqrt{2\sin \left(\frac{\pi}{4}\right)\cos\left(x-\frac{\pi}{4}\right)}\\\le 2^{\frac{3}{4}}}\)
Pierwsza nierówność wynika z nierówności między średnią arytmetyczną a kwadratową, potem skorzystałem ze wzoru na sumę sinusów:
\(\displaystyle{ \sin x+\sin y=2\sin\left(\frac{x+y}{2}\right)\cos\left(\frac{x-y}{2}\right)}\)
przy czym \(\displaystyle{ y=\frac{\pi}{2}-x}\).
Równość w obu nierównościach zachodzi dla \(\displaystyle{ x=\frac{\pi}{4}}\).
Ponadto jeśli \(\displaystyle{ y\in [0,1]}\), to mamy \(\displaystyle{ y^{2}\le \sqrt{y}}\) i stąd:
\(\displaystyle{ 1=\sin^{2} x+\cos^{2}x\le \sqrt{\sin x}+\sqrt{\cos x}}\) i równość zachodzi na przykład dla \(\displaystyle{ x=0}\).
Pozostaje stwierdzić, że funkcja \(\displaystyle{ f(x)=\sqrt{\sin x}+\sqrt{\cos x}}\), jako funkcja ciągła, ma własność Darboux, więc jej zbiorem wartości jest \(\displaystyle{ \left[1, 2^{\frac{3}{4}}\right]}\).
-
- Użytkownik
- Posty: 538
- Rejestracja: 11 maja 2016, o 13:36
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Lublin
- Podziękował: 495 razy
- Pomógł: 5 razy
Re: Wyznaczyć zbiór wartości funkcji
Bardzo mi się podoba to rozwiązanie z tymi nierównościami między średnimi. Ja próbowałem inaczej to robić, to znaczy chciałem uzasadnić najpierw, że zachodzi:
\(\displaystyle{ 0\leq\log_2 f(x)\leq\frac{3}{4}}\)
Ale to chyba droga na "mocne około"
\(\displaystyle{ 0\leq\log_2 f(x)\leq\frac{3}{4}}\)
Ale to chyba droga na "mocne około"
-
- Użytkownik
- Posty: 22173
- Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Bydgoszcz
- Podziękował: 38 razy
- Pomógł: 3748 razy
Re: Wyznaczyć zbiór wartości funkcji
Tak naprawdę to nie jest nierówność między średnimi tylko wklęsłość pierwiastka
To ja mam taki pomysł: najpierw muszę przypomnieć moja ulubioną charakteryzację funkcji wypukłych:
\(f:(a,b)\to\RR\) jest wypukła wtedy i tylko wtedy, gdy iloraz różnicowy \(\frac{f(x)-f(y)}{x-y}\) jest rosnący (wklęsła gdy malejący).
Funkcja sinus jest wklęsła, pokażę, że również jej pierwiastek jest wklęsły:
\(\frac{\sqrt{\sin x}-\sqrt{\sin y}}{x-y}=\frac{\sin x-\sin y}{x-y}\cdot\frac{1}{\sqrt{\sin x}+\sqrt{\sin y}}\)
Oba czynniki sią dodatnie (bo sinus rośnie) i malejące (pierwszy, bo sinus jest wklęsły, a drugi bo rosnący), więc iloczyn maleje, a to dowodzi wklęsłości funkcji \(\sqrt{\sin x}\).
Skoro tak, to funkcja \(\sqrt{\sin x}+\sqrt{\cos x}=\sqrt{\sin x}+\sqrt{\sin (\pi/2-x)}\) jest wklęsła (jako suma dwóch funkcji wklęsłych) i symetryczna względem \(\pi/4\) więc przyjmuje największą wartość w środku przedziału, a najmniejszą na końcach.
Dodano po 55 minutach 33 sekundach:
No dobra: wklęsłość można pokazać bez takich sztuczek:
$$\sqrt{\sin\frac{x+y}{2}}\geq \sqrt\frac{\sin x+\sin y}{2}\geq \frac{\sqrt{\sin x}+\sqrt{\sin y}}{2}.$$
To ja mam taki pomysł: najpierw muszę przypomnieć moja ulubioną charakteryzację funkcji wypukłych:
\(f:(a,b)\to\RR\) jest wypukła wtedy i tylko wtedy, gdy iloraz różnicowy \(\frac{f(x)-f(y)}{x-y}\) jest rosnący (wklęsła gdy malejący).
Funkcja sinus jest wklęsła, pokażę, że również jej pierwiastek jest wklęsły:
\(\frac{\sqrt{\sin x}-\sqrt{\sin y}}{x-y}=\frac{\sin x-\sin y}{x-y}\cdot\frac{1}{\sqrt{\sin x}+\sqrt{\sin y}}\)
Oba czynniki sią dodatnie (bo sinus rośnie) i malejące (pierwszy, bo sinus jest wklęsły, a drugi bo rosnący), więc iloczyn maleje, a to dowodzi wklęsłości funkcji \(\sqrt{\sin x}\).
Skoro tak, to funkcja \(\sqrt{\sin x}+\sqrt{\cos x}=\sqrt{\sin x}+\sqrt{\sin (\pi/2-x)}\) jest wklęsła (jako suma dwóch funkcji wklęsłych) i symetryczna względem \(\pi/4\) więc przyjmuje największą wartość w środku przedziału, a najmniejszą na końcach.
Dodano po 55 minutach 33 sekundach:
No dobra: wklęsłość można pokazać bez takich sztuczek:
$$\sqrt{\sin\frac{x+y}{2}}\geq \sqrt\frac{\sin x+\sin y}{2}\geq \frac{\sqrt{\sin x}+\sqrt{\sin y}}{2}.$$