Rozwiązanie równania trygonometrycznego

Własności funkcji trygonometrycznych i cyklometrycznych. Tożsamości. RÓWNANIA I NIERÓWNOŚCI.
Erionn
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 5
Rejestracja: 10 lis 2019, o 15:32
Płeć: Mężczyzna
wiek: 20
Podziękował: 4 razy

Rozwiązanie równania trygonometrycznego

Post autor: Erionn »

Wrzucam jeszcze raz ponieważ poprzedni post łamał regulamin
Jak rozwiązać równanie tego typu
\(\displaystyle{ \sin^5 x \cdot \cos^5 x=1}\)

Zadanie zamknięte z konkursu matematyka moja pasja, edycja 2012/2013

A. ma dokładnie jeden pierwiastek w przedziale
\(\displaystyle{ (0, \pi )}\)
B. ma jeden pierwiastek w każdym przedziale postaci
\(\displaystyle{ (k \pi, (k+1) \pi), k \in \CC }\)
c. ma jeden pierwiastek w każdym przedziale postaci
\(\displaystyle{ \left( \frac{\pi}{2} + k \pi, (k+1) \pi \right), k \in \CC }\)
D. nie ma żadnego pierwiastka.
Ostatnio zmieniony 18 lis 2019, o 13:35 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Nie używaj wzorów w temacie posta.
Awatar użytkownika
Premislav
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 15685
Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 195 razy
Pomógł: 5219 razy

Re: Rozwiązanie równania trygonometrycznego

Post autor: Premislav »

To ja znów wrzucę podobną odpowiedź:
w rzeczywistych jest
\(\displaystyle{ (a-b)^{2}\ge 0\\ a^{2}-2ab+b^{2}\ge 0\\a^{2}+b^{2}\ge 2ab\\\frac{a^{2}+b^{2}}{2}\ge ab}\). Weźmy teraz
\(\displaystyle{ a=|\sin x|, \ b=|\cos x|}\) i mamy
\(\displaystyle{ |\sin x\cos x|=|\sin x||\cos x|\le \frac{|\sin x|^{2}+|\cos x|^{2}}{2}=\frac{\sin^{2}x+\cos^{2}x}{2}=\frac{1}{2}}\)
a zatem
\(\displaystyle{ \left|\sin^{5} x \cos^{5} x\right|=\left(|\sin x \cos x|\right)^{5}\le \frac{1}{2^{5}}<1}\), czyli równanie nie ma rozwiązań w liczbach rzeczywistych.
a4karo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 22173
Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziękował: 38 razy
Pomógł: 3748 razy

Re: Rozwiązanie równania trygonometrycznego

Post autor: a4karo »

Mamy \(|\sin^5x\cos^5x |\leq 1\) z równością wtedy i tylko wtedy gdy \(|\sin x|=|\cos x|=1\), a to stoi w sprzeczności z jedynką trygonometryczną.

Dodano po 30 minutach 57 sekundach:
Albo jeszcze prościej:
$$|\sin^5x\cos^2x|=\left|\frac{\sin^52x}{2^5}\right|\leq \frac{1}{32}$$
ODPOWIEDZ