Wrzucam jeszcze raz ponieważ poprzedni post łamał regulamin
Jak rozwiązać równanie tego typu
\(\displaystyle{ \sin^5 x \cdot \cos^5 x=1}\)
Zadanie zamknięte z konkursu matematyka moja pasja, edycja 2012/2013
A. ma dokładnie jeden pierwiastek w przedziale
\(\displaystyle{ (0, \pi )}\)
B. ma jeden pierwiastek w każdym przedziale postaci
\(\displaystyle{ (k \pi, (k+1) \pi), k \in \CC }\)
c. ma jeden pierwiastek w każdym przedziale postaci
\(\displaystyle{ \left( \frac{\pi}{2} + k \pi, (k+1) \pi \right), k \in \CC }\)
D. nie ma żadnego pierwiastka.
Rozwiązanie równania trygonometrycznego
-
- Użytkownik
- Posty: 5
- Rejestracja: 10 lis 2019, o 15:32
- Płeć: Mężczyzna
- wiek: 20
- Podziękował: 4 razy
Rozwiązanie równania trygonometrycznego
Ostatnio zmieniony 18 lis 2019, o 13:35 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Nie używaj wzorów w temacie posta.
Powód: Nie używaj wzorów w temacie posta.
- Premislav
- Użytkownik
- Posty: 15687
- Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 196 razy
- Pomógł: 5221 razy
Re: Rozwiązanie równania trygonometrycznego
To ja znów wrzucę podobną odpowiedź:
w rzeczywistych jest
\(\displaystyle{ (a-b)^{2}\ge 0\\ a^{2}-2ab+b^{2}\ge 0\\a^{2}+b^{2}\ge 2ab\\\frac{a^{2}+b^{2}}{2}\ge ab}\). Weźmy teraz
\(\displaystyle{ a=|\sin x|, \ b=|\cos x|}\) i mamy
\(\displaystyle{ |\sin x\cos x|=|\sin x||\cos x|\le \frac{|\sin x|^{2}+|\cos x|^{2}}{2}=\frac{\sin^{2}x+\cos^{2}x}{2}=\frac{1}{2}}\)
a zatem
\(\displaystyle{ \left|\sin^{5} x \cos^{5} x\right|=\left(|\sin x \cos x|\right)^{5}\le \frac{1}{2^{5}}<1}\), czyli równanie nie ma rozwiązań w liczbach rzeczywistych.
w rzeczywistych jest
\(\displaystyle{ (a-b)^{2}\ge 0\\ a^{2}-2ab+b^{2}\ge 0\\a^{2}+b^{2}\ge 2ab\\\frac{a^{2}+b^{2}}{2}\ge ab}\). Weźmy teraz
\(\displaystyle{ a=|\sin x|, \ b=|\cos x|}\) i mamy
\(\displaystyle{ |\sin x\cos x|=|\sin x||\cos x|\le \frac{|\sin x|^{2}+|\cos x|^{2}}{2}=\frac{\sin^{2}x+\cos^{2}x}{2}=\frac{1}{2}}\)
a zatem
\(\displaystyle{ \left|\sin^{5} x \cos^{5} x\right|=\left(|\sin x \cos x|\right)^{5}\le \frac{1}{2^{5}}<1}\), czyli równanie nie ma rozwiązań w liczbach rzeczywistych.
-
- Użytkownik
- Posty: 22211
- Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Bydgoszcz
- Podziękował: 38 razy
- Pomógł: 3755 razy
Re: Rozwiązanie równania trygonometrycznego
Mamy \(|\sin^5x\cos^5x |\leq 1\) z równością wtedy i tylko wtedy gdy \(|\sin x|=|\cos x|=1\), a to stoi w sprzeczności z jedynką trygonometryczną.
Dodano po 30 minutach 57 sekundach:
Albo jeszcze prościej:
$$|\sin^5x\cos^2x|=\left|\frac{\sin^52x}{2^5}\right|\leq \frac{1}{32}$$
Dodano po 30 minutach 57 sekundach:
Albo jeszcze prościej:
$$|\sin^5x\cos^2x|=\left|\frac{\sin^52x}{2^5}\right|\leq \frac{1}{32}$$