Wyznacz zbiór wartości funkcji

[max123321]

Wyznacz zbiór wartości funkcji:
\(\displaystyle{ f(x)=\cos^22x-\cos 2x-2}\)

Jak to zrobić?

[Jan Kraszewski]

Wiesz jak wyznacza się zbiór wartości funkcji złożonej?

JK

[albanczyk123456]

\(\displaystyle{ \cos^{2}2x-\cos2x-2=\left( \cos2x-\frac{1}{2}\right)^{2}-\frac{9}{4}}\)
Jakie wartości może przyjmować \(\displaystyle{ \cos2x}\)?

[max123321]

Aaa, dobra to do postaci kanonicznej trzeba. Myślałem, że z postaci iloczynowej jakoś. Dobra to już chyba wszystko jasne. \(\displaystyle{ \cos 2x}\) może przyjmować wartości od \(\displaystyle{ -1}\) do \(\displaystyle{ 1}\), czyli \(\displaystyle{ \cos2x-\frac{1}{2}}\) będzie przyjmować wartości od \(\displaystyle{ -3/2}\) do \(\displaystyle{ 1/2}\) czyli po podniesieniu do kwadratu będzie przyjmować wartości od zera do \(\displaystyle{ 9/4}\) i potem jeszcze minus \(\displaystyle{ 9/4}\) czyli ostatecznie ta funkcja przyjmuje wartości w przedziale \(\displaystyle{ \left\langle - \frac{9}{4},0 \right\rangle }\), zgadza się?

Ale tak zapytam z ciekawości,(bo może masz na myśli jakieś inne rozwiązanie) J. Kraszewski jak się wyznacza zbiór wartości funkcji złożonej? Może da się jakoś schematycznie robić tego typu zadania? .

[Jan Kraszewski]

Ale tak zapytam z ciekawości,(bo może masz na myśli jakieś inne rozwiązanie) J. Kraszewski jak się wyznacza zbiór wartości funkcji złożonej? Może da się jakoś schematycznie robić tego typu zadania? .

Jeśli szukasz zbioru wartości funkcji \(\displaystyle{ g\circ f}\), to wyznaczasz po prostu obraz zbioru \(\displaystyle{ \text{rng}\,f}\) przez funkcję \(\displaystyle{ g}\). Tutaj \(\displaystyle{ g(x)=x^2-x-2, \text{rng}\,f=[-1,1]}\) i już - z postaci kanonicznej jest szybko, ale nie jest ona niezbędna.

JK