Dziedzina funkcji

[chopinnn]

Trochę pomieszane ale dziedzina logarytmy + pierwiastki+...
Wyznaczyć dziedzinę
\(\displaystyle{ y= \sqrt{\arcctg ( x^{2}+1) \arctg( x^{2}-1) } +\ln \left( \arccos \left( \frac{ x^{3}+1 }{2}\right)\right) }\)
Dziedzina z pierwiastka to \(\displaystyle{ x \le -1 \wedge x \ge 1}\) liczone z takich warunków \(\displaystyle{ x^{2}+1 \ge 0 }\) oraz \(\displaystyle{ x^{2}-1 \ge 0 }\) chyba dobrze. Drugi warunek że obie te funkcje kwadratowe są mniejsze od zera (iloczyn jest dodatni jak oba składniki ujemny albo oba dodatnie. Pewnie jest jakiś wzór do redukcji tego do czegoś prostszego - ale to pal licho.
Teraz logarytm:
zatem \(\displaystyle{ \arccos \left( \frac{ x^{3}+1 }{2}\right) >0 }\) co daje że \(\displaystyle{ 0<\frac{ x^{3}+1 }{2} \le 1 }\). Jak się to rozwiąże dziedzina będzie \(\displaystyle{ x > \sqrt[3]{-3} \wedge x \le 1}\).
Zatem dziedzina \(\displaystyle{ \sqrt[3]{-3} < x \le - 1}\). Ma to ręce i nogi?

[a4karo]

Trochę pomieszane ale dziedzina logarytmy + pierwiastki+...
Wyznaczyć dziedzinę
\(\displaystyle{ y= \sqrt{arc ctg ( x^{2}+1) arc tg( x^{2}-1) } +\ln (arc cos ( \frac{ x^{3}+1 }{2}) ) }\)
Dziedzina z pierwiastka to \(\displaystyle{ x \le -1 \wedge x \ge 1}\) liczone z takich warunków \(\displaystyle{ x^{2}+1 \ge 0 }\) oraz \(\displaystyle{ x^{2}-1 \ge 0 }\) chyba dobrze.

Wynik dobry, ale rozumowanie złe. Skąd wziąłeś warunki \(x^2+1\geq 0\) i \(x^2-1\geq 0\)?

Drugi warunek że obie te funkcje kwadratowe są mniejsze od zera (iloczyn jest dodatni jak oba składniki ujemny albo oba dodatnie. Pewnie jest jakiś wzór do redukcji tego do czegoś prostszego - ale to pal licho.

W matematyce "pal to licho" jest słabym argumentem. Popatrz na wykres arkuskotangensa.
Teraz logarytm:
zatem \(\displaystyle{ arc cos ( \frac{ x^{3}+1 }{2}) >0 }\) co daje że \(\displaystyle{ 0<\frac{ x^{3}+1 }{2}) \le 1 }\).

Jesteś pewien? Znów wykres arkusakosinusa sie przyda

Jak się to rozwiąże dziedzina będzie \(\displaystyle{ x > \sqrt[3]{-3} \wedge x \le 1}\).
Zatem dziedzina \(\displaystyle{ \sqrt[3]{-3} < x \le - 1}\). Ma to ręce i nogi?

Nie

[chopinnn]

Zajmijmy się zatem najpierw \(\displaystyle{ \ln (\arccos( \frac{x ^{3}+1 }{2} ) ) }\) pierwsze \(\displaystyle{ \arccos( \frac{x ^{3}+1 }{2})>0 }\) to z definicje logarytmu.
\(\displaystyle{ \arccos( \frac{x ^{3}+1 }{2})>0 }\)
\(\displaystyle{ \frac{x ^{3}+1 }{2}>\cos 0 }\) funkcja cosinus jest malejąca więc
\(\displaystyle{ \frac{x ^{3}+1 }{2}<1 }\) jak się to wymnoży itd.
\(\displaystyle{ x<1 }\)
Drugi warunek to dziedzina samego arcusa
\(\displaystyle{ -1 \le \frac{x ^{3}+1 }{2} \le 1 }\) mnożąc itd. dostajemy dziedzinę
\(\displaystyle{ \sqrt[3]{-3} \le x \le 1 }\)
zatem dziedzina \(\displaystyle{ \sqrt[3]{-3} \le x< 1 }\)
Do sprawdzenia...

[a4karo]

A popatrzyłeś na wykres arkuskosinusa (bo to najprościej). Dziedzina tego kawałka jest OK

[chopinnn]

Geogebra cały czas w ruchu