Trochę pomieszane ale dziedzina logarytmy + pierwiastki+...
Wyznaczyć dziedzinę
\(\displaystyle{ y= \sqrt{\arcctg ( x^{2}+1) \arctg( x^{2}-1) } +\ln \left( \arccos \left( \frac{ x^{3}+1 }{2}\right)\right) }\)
Dziedzina z pierwiastka to \(\displaystyle{ x \le -1 \wedge x \ge 1}\) liczone z takich warunków \(\displaystyle{ x^{2}+1 \ge 0 }\) oraz \(\displaystyle{ x^{2}-1 \ge 0 }\) chyba dobrze. Drugi warunek że obie te funkcje kwadratowe są mniejsze od zera (iloczyn jest dodatni jak oba składniki ujemny albo oba dodatnie. Pewnie jest jakiś wzór do redukcji tego do czegoś prostszego - ale to pal licho.
Teraz logarytm:
zatem \(\displaystyle{ \arccos \left( \frac{ x^{3}+1 }{2}\right) >0 }\) co daje że \(\displaystyle{ 0<\frac{ x^{3}+1 }{2} \le 1 }\). Jak się to rozwiąże dziedzina będzie \(\displaystyle{ x > \sqrt[3]{-3} \wedge x \le 1}\).
Zatem dziedzina \(\displaystyle{ \sqrt[3]{-3} < x \le - 1}\). Ma to ręce i nogi?
Dziedzina funkcji
Dziedzina funkcji
Ostatnio zmieniony 17 lis 2019, o 18:16 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Punkt 2.7 instrukcji LaTeX-a. Funkcje matematyczne należy zapisywać: sinus - \sin, logarytm - \log, logarytm naturalny - \ln itd.
Powód: Punkt 2.7 instrukcji LaTeX-a. Funkcje matematyczne należy zapisywać: sinus - \sin, logarytm - \log, logarytm naturalny - \ln itd.
-
- Użytkownik
- Posty: 22210
- Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Bydgoszcz
- Podziękował: 38 razy
- Pomógł: 3755 razy
Re: Dziedzina funkcji
Wynik dobry, ale rozumowanie złe. Skąd wziąłeś warunki \(x^2+1\geq 0\) i \(x^2-1\geq 0\)?chopinnn pisze: ↑17 lis 2019, o 16:09 Trochę pomieszane ale dziedzina logarytmy + pierwiastki+...
Wyznaczyć dziedzinę
\(\displaystyle{ y= \sqrt{arc ctg ( x^{2}+1) arc tg( x^{2}-1) } +\ln (arc cos ( \frac{ x^{3}+1 }{2}) ) }\)
Dziedzina z pierwiastka to \(\displaystyle{ x \le -1 \wedge x \ge 1}\) liczone z takich warunków \(\displaystyle{ x^{2}+1 \ge 0 }\) oraz \(\displaystyle{ x^{2}-1 \ge 0 }\) chyba dobrze.
Drugi warunek że obie te funkcje kwadratowe są mniejsze od zera (iloczyn jest dodatni jak oba składniki ujemny albo oba dodatnie. Pewnie jest jakiś wzór do redukcji tego do czegoś prostszego - ale to pal licho.
Jesteś pewien? Znów wykres arkusakosinusa sie przyda
W matematyce "pal to licho" jest słabym argumentem. Popatrz na wykres arkuskotangensa.
Teraz logarytm:
zatem \(\displaystyle{ arc cos ( \frac{ x^{3}+1 }{2}) >0 }\) co daje że \(\displaystyle{ 0<\frac{ x^{3}+1 }{2}) \le 1 }\).
NieJak się to rozwiąże dziedzina będzie \(\displaystyle{ x > \sqrt[3]{-3} \wedge x \le 1}\).
Zatem dziedzina \(\displaystyle{ \sqrt[3]{-3} < x \le - 1}\). Ma to ręce i nogi?
Re: Dziedzina funkcji
Zajmijmy się zatem najpierw \(\displaystyle{ \ln (\arccos( \frac{x ^{3}+1 }{2} ) ) }\) pierwsze \(\displaystyle{ \arccos( \frac{x ^{3}+1 }{2})>0 }\) to z definicje logarytmu.
\(\displaystyle{ \arccos( \frac{x ^{3}+1 }{2})>0 }\)
\(\displaystyle{ \frac{x ^{3}+1 }{2}>\cos 0 }\) funkcja cosinus jest malejąca więc
\(\displaystyle{ \frac{x ^{3}+1 }{2}<1 }\) jak się to wymnoży itd.
\(\displaystyle{ x<1 }\)
Drugi warunek to dziedzina samego arcusa
\(\displaystyle{ -1 \le \frac{x ^{3}+1 }{2} \le 1 }\) mnożąc itd. dostajemy dziedzinę
\(\displaystyle{ \sqrt[3]{-3} \le x \le 1 }\)
zatem dziedzina \(\displaystyle{ \sqrt[3]{-3} \le x< 1 }\)
Do sprawdzenia...
\(\displaystyle{ \arccos( \frac{x ^{3}+1 }{2})>0 }\)
\(\displaystyle{ \frac{x ^{3}+1 }{2}>\cos 0 }\) funkcja cosinus jest malejąca więc
\(\displaystyle{ \frac{x ^{3}+1 }{2}<1 }\) jak się to wymnoży itd.
\(\displaystyle{ x<1 }\)
Drugi warunek to dziedzina samego arcusa
\(\displaystyle{ -1 \le \frac{x ^{3}+1 }{2} \le 1 }\) mnożąc itd. dostajemy dziedzinę
\(\displaystyle{ \sqrt[3]{-3} \le x \le 1 }\)
zatem dziedzina \(\displaystyle{ \sqrt[3]{-3} \le x< 1 }\)
Do sprawdzenia...
Ostatnio zmieniony 17 lis 2019, o 22:21 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Punkt 2.7 instrukcji LaTeX-a. Funkcje matematyczne należy zapisywać: sinus - \sin, logarytm - \log, logarytm naturalny - \ln itd.
Powód: Punkt 2.7 instrukcji LaTeX-a. Funkcje matematyczne należy zapisywać: sinus - \sin, logarytm - \log, logarytm naturalny - \ln itd.