Znaleźć funkcje odwrotną do odpowiednio zawężonej funkcji kosinus. Jak dojść do niej algebraicznie?

[Zdenerwowany Student]

Witajcie,
Mam pytanie dot. jednego przykładu z zadania:
Mianowicie mam znaleźć funkcję odwrotną do odpowiednio zawężonej funkcji \(\displaystyle{ \cos\left( \frac{x}{2}\right) }\), Do zadania podchodzę w sposób następujący, że rysuję wykres \(\displaystyle{ \cos\left( \frac{x}{2}\right) }\), którego okres jest dwa razy mniejszy niż \(\displaystyle{ \cos\left( x\right) }\). Ograniczam zbiór \(\displaystyle{ x}\) do \(\displaystyle{ x \in \left[ 0;2 \pi \right] }\).
I teraz rysując funkcję arkusa, odbiłem zawężony wykres funkcji dzięki diagonali. I wyszeło mi, że dla funkcji odwrotnej jest: \(\displaystyle{ x \in \left[ -1;1\right] }\) i \(\displaystyle{ y \in \left[ 0;2 \pi \right] }\) i ot jest raczej dobrze,
I teraz algebraicznie: zamieniam miejscami \(\displaystyle{ x}\) z \(\displaystyle{ y}\) i mam \(\displaystyle{ \frac{x}{2} = \arccos\left( y\right) \Rightarrow x=2\arccos\left( y\right) }\) , ale nie wiem co dalej, jak wyciągnąć y z arkusa? I dlaczego zamieniając miejscami \(\displaystyle{ x}\) i \(\displaystyle{ y}\) to zamieniam cały argument \(\displaystyle{ \arccos}\) a nie tylko \(\displaystyle{ x}\) na \(\displaystyle{ y}\)?
Z góry dzięki za pomoc!

[Jan Kraszewski]

rysuję wykres \(\displaystyle{ \cos\left( \frac{x}{2}\right) }\), którego okres jest dwa razy mniejszy niż \(\displaystyle{ \cos\left( x\right) }\).

Raczej dwa razy większy.

JK

[Zdenerwowany Student]

rysuję wykres \(\displaystyle{ \cos\left( \frac{x}{2}\right) }\), którego okres jest dwa razy mniejszy niż \(\displaystyle{ \cos\left( x\right) }\).

Raczej dwa razy większy.

JK

hah! Racja, drobny błąd w tekście, wybacz, niemniej problem nadal pozostaje ten sam :/

[Jan Kraszewski]

I teraz algebraicznie: zamieniam miejscami \(\displaystyle{ x}\) z \(\displaystyle{ y}\) i mam \(\displaystyle{ \frac{x}{2} = \arccos\left( y\right)}\)

Zamieniasz miejscami i masz \(\displaystyle{ x=\cos\left( \frac{y}{2} \right) }\), z czego wyznaczasz \(\displaystyle{ y}\).

JK