Znam jedno z rozwiązań (\(\displaystyle{ x=\frac{\pi}{2}}\)) równania\(\displaystyle{ \\}\)
\(\displaystyle{ 1+2\sin x\cos x - \sin x +\sqrt{3}\cos x=0}\)
Jak to rozwiązać?
Równanie ze znanym jednym z rozwiązań
-
- Użytkownik
- Posty: 255
- Rejestracja: 19 maja 2010, o 13:21
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wejherowo
- Podziękował: 6 razy
- Pomógł: 15 razy
Re: Równanie ze znanym jednym z rozwiązań
Po podstawieniu \(\displaystyle{ y=\cos x}\) i przekształcceniach dostaję równanie
\(\displaystyle{ \sqrt{1-y^2}=\frac{1+\sqrt{3}y}{1-2y}}\)
i dalej
\(\displaystyle{ 4y^4-4y^3+(2\sqrt{3}+4)y=0}\)
skąd
\(\displaystyle{ y=0}\) lub \(\displaystyle{ 4y^3-4y^2+2\sqrt{3}+4=0}\)
Badając pochodną wyrażenia \(\displaystyle{ 4y^3-4y^2+2\sqrt{3}+4}\) dostaję max w zerze i min w \(\displaystyle{ \frac{2}{3}}\) - oba mają wartości większe od 1. Natomiast \(\displaystyle{ y(-1)<0}\), więc jest jeszcze rozwiązanie \(\displaystyle{ y}\) w przedziale \(\displaystyle{ \left( -1,0\right) }\).
Dodano po 37 minutach 49 sekundach:
Zapomniałem o założeniach przed podniesieniem do kwadratu.
\(\displaystyle{ y\in\left\langle -\frac{\sqrt{3}}{3};\frac{1}{2}\right) }\)
A \(\displaystyle{ y(-\frac{\sqrt{3}}{3})>0}\), więc innych rozwiązań nie ma.
Proszę o sprawdzenie rozumowania i rachunków.
\(\displaystyle{ \sqrt{1-y^2}=\frac{1+\sqrt{3}y}{1-2y}}\)
i dalej
\(\displaystyle{ 4y^4-4y^3+(2\sqrt{3}+4)y=0}\)
skąd
\(\displaystyle{ y=0}\) lub \(\displaystyle{ 4y^3-4y^2+2\sqrt{3}+4=0}\)
Badając pochodną wyrażenia \(\displaystyle{ 4y^3-4y^2+2\sqrt{3}+4}\) dostaję max w zerze i min w \(\displaystyle{ \frac{2}{3}}\) - oba mają wartości większe od 1. Natomiast \(\displaystyle{ y(-1)<0}\), więc jest jeszcze rozwiązanie \(\displaystyle{ y}\) w przedziale \(\displaystyle{ \left( -1,0\right) }\).
Dodano po 37 minutach 49 sekundach:
Zapomniałem o założeniach przed podniesieniem do kwadratu.
\(\displaystyle{ y\in\left\langle -\frac{\sqrt{3}}{3};\frac{1}{2}\right) }\)
A \(\displaystyle{ y(-\frac{\sqrt{3}}{3})>0}\), więc innych rozwiązań nie ma.
Proszę o sprawdzenie rozumowania i rachunków.
- Premislav
- Użytkownik
- Posty: 15687
- Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 196 razy
- Pomógł: 5220 razy
Re: Równanie ze znanym jednym z rozwiązań
Rozumowanie jest OK, doszedłem do tego samego, ale nie potrafię obliczyć tego ostatniego pierwiastka inaczej niż ze wzorów Cardana:
W ogóle rozwiązania są przeurocze:
Ja sobie z tym dam spokój. Próbowałem cisnąć ze wzorów Viete'a i wykorzystywać jakoś to, że pierwiastki zespolone nierzeczywiste są wzajemnie sprzężone, ale nic to nie dało.
Kod: Zaznacz cały
https://proofwiki.org/wiki/Cardano%27s_Formula
W ogóle rozwiązania są przeurocze:
https://www.wolframalpha.com/input/?i=solve+4y%5E%7B3%7D-4y%5E%7B2%7D%2B2sqrt%283%29%2B4%3D0
Ja sobie z tym dam spokój. Próbowałem cisnąć ze wzorów Viete'a i wykorzystywać jakoś to, że pierwiastki zespolone nierzeczywiste są wzajemnie sprzężone, ale nic to nie dało.
- JHN
- Użytkownik
- Posty: 668
- Rejestracja: 8 lip 2007, o 18:09
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Radom
- Podziękował: 7 razy
- Pomógł: 206 razy
Re: Równanie ze znanym jednym z rozwiązań
Chwilowo nie mam możliwości policzenia na kartce, ale ... zacząłbym:
\(\displaystyle{ 1^\circ}\) rozwiązaniem danego równania nie jest \(\displaystyle{ \pi+k\cdot 2\pi\wedge k\in\ZZ }\)
\(\displaystyle{ 2^\circ}\) dla \(\displaystyle{ x\ne \pi+k\cdot 2\pi\wedge k\in\ZZ }\) mamy: \(\displaystyle{ \sin x = \frac{2t}{1+t^2}\wedge \cos x = \frac{1-t^2}{1+t^2} }\), gdzie \(\displaystyle{ t=\tg \frac{x}{2} \wedge t\in\RR}\)
Podstawienie doprowadzi do równania wielomianowego czwartego stopnia...
Pozdrawiam
\(\displaystyle{ 1^\circ}\) rozwiązaniem danego równania nie jest \(\displaystyle{ \pi+k\cdot 2\pi\wedge k\in\ZZ }\)
\(\displaystyle{ 2^\circ}\) dla \(\displaystyle{ x\ne \pi+k\cdot 2\pi\wedge k\in\ZZ }\) mamy: \(\displaystyle{ \sin x = \frac{2t}{1+t^2}\wedge \cos x = \frac{1-t^2}{1+t^2} }\), gdzie \(\displaystyle{ t=\tg \frac{x}{2} \wedge t\in\RR}\)
Podstawienie doprowadzi do równania wielomianowego czwartego stopnia...
Pozdrawiam
-
- Użytkownik
- Posty: 255
- Rejestracja: 19 maja 2010, o 13:21
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wejherowo
- Podziękował: 6 razy
- Pomógł: 15 razy
Re: Równanie ze znanym jednym z rozwiązań
Dziękuję. Równanie jest fantastyczne
\(\displaystyle{ \left( t-1\right)\left[ \left( 1- \sqrt{3} \right)t^3+\left( -5-\sqrt{3}\right)t^2+\left( -3-\sqrt{3}\right)t-1-\sqrt{3} \right]=0 }\)
\(\displaystyle{ \left( t-1\right)\left[ \left( 1- \sqrt{3} \right)t^3+\left( -5-\sqrt{3}\right)t^2+\left( -3-\sqrt{3}\right)t-1-\sqrt{3} \right]=0 }\)