Równanie ze znanym jednym z rozwiązań

[knrt]

Znam jedno z rozwiązań (\(\displaystyle{ x=\frac{\pi}{2}}\)) równania\(\displaystyle{ \\}\)
\(\displaystyle{ 1+2\sin x\cos x - \sin x +\sqrt{3}\cos x=0}\)
Jak to rozwiązać?

[Dilectus]

Skorzystaj z jedynki trygonometrycznej.

[knrt]

Po podstawieniu \(\displaystyle{ y=\cos x}\) i przekształcceniach dostaję równanie
\(\displaystyle{ \sqrt{1-y^2}=\frac{1+\sqrt{3}y}{1-2y}}\)
i dalej
\(\displaystyle{ 4y^4-4y^3+(2\sqrt{3}+4)y=0}\)
skąd
\(\displaystyle{ y=0}\) lub \(\displaystyle{ 4y^3-4y^2+2\sqrt{3}+4=0}\)

Badając pochodną wyrażenia \(\displaystyle{ 4y^3-4y^2+2\sqrt{3}+4}\) dostaję max w zerze i min w \(\displaystyle{ \frac{2}{3}}\) - oba mają wartości większe od 1. Natomiast \(\displaystyle{ y(-1)<0}\), więc jest jeszcze rozwiązanie \(\displaystyle{ y}\) w przedziale \(\displaystyle{ \left( -1,0\right) }\).

Dodano po 37 minutach 49 sekundach:
Zapomniałem o założeniach przed podniesieniem do kwadratu.
\(\displaystyle{ y\in\left\langle -\frac{\sqrt{3}}{3};\frac{1}{2}\right) }\)
A \(\displaystyle{ y(-\frac{\sqrt{3}}{3})>0}\), więc innych rozwiązań nie ma.

Proszę o sprawdzenie rozumowania i rachunków.

[Premislav]

Rozumowanie jest OK, doszedłem do tego samego, ale nie potrafię obliczyć tego ostatniego pierwiastka inaczej niż ze wzorów Cardana:

Kod: Zaznacz cały

https://proofwiki.org/wiki/Cardano%27s_Formula

W ogóle rozwiązania są przeurocze:
https://www.wolframalpha.com/input/?i=solve+4y%5E%7B3%7D-4y%5E%7B2%7D%2B2sqrt%283%29%2B4%3D0
Ja sobie z tym dam spokój. Próbowałem cisnąć ze wzorów Viete'a i wykorzystywać jakoś to, że pierwiastki zespolone nierzeczywiste są wzajemnie sprzężone, ale nic to nie dało.

[knrt]

Dziękuję. Nie napisałem, że zależy mi jedynie na rozwiązaniach rzeczywistych

[JHN]

Chwilowo nie mam możliwości policzenia na kartce, ale ... zacząłbym:

\(\displaystyle{ 1^\circ}\) rozwiązaniem danego równania nie jest \(\displaystyle{ \pi+k\cdot 2\pi\wedge k\in\ZZ }\)

\(\displaystyle{ 2^\circ}\) dla \(\displaystyle{ x\ne \pi+k\cdot 2\pi\wedge k\in\ZZ }\) mamy: \(\displaystyle{ \sin x = \frac{2t}{1+t^2}\wedge \cos x = \frac{1-t^2}{1+t^2} }\), gdzie \(\displaystyle{ t=\tg \frac{x}{2} \wedge t\in\RR}\)

Podstawienie doprowadzi do równania wielomianowego czwartego stopnia...

Pozdrawiam

[knrt]

Dziękuję. Równanie jest fantastyczne

\(\displaystyle{ \left( t-1\right)\left[ \left( 1- \sqrt{3} \right)t^3+\left( -5-\sqrt{3}\right)t^2+\left( -3-\sqrt{3}\right)t-1-\sqrt{3} \right]=0 }\)