arcusy i równość
-
- Użytkownik
- Posty: 117
- Rejestracja: 13 paź 2017, o 08:24
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Tu
- Podziękował: 42 razy
arcusy i równość
Pokaż że \(\displaystyle{ \arcsin (\tg x)=\arctg\frac{\sin x}{\sqrt{\cos 2x}}}\) gdy \(\displaystyle{ |x|<\frac{\pi}{4}}\).
-
- Użytkownik
- Posty: 7917
- Rejestracja: 18 mar 2009, o 16:24
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 30 razy
- Pomógł: 1671 razy
Re: arcusy i równość
Tworzymy funkcję
\(\displaystyle{ f(x) = \arcsin(\tg(x)) - \arctg \left( \frac{\sin(x)}{\sqrt{\cos(2x)}} \right), \ \ |x|<\frac{\pi}{4}. }\)
Obliczamy wartość tej funkcji w zerze:
\(\displaystyle{ f(0) = \arcsin(\tg(0)) - \arctg \left( \frac{\sin(0)}{\sqrt{\cos(2\cdot 0 )}} \right) = 0 - 0 =0.}\)
Obliczamy pochodną tej funkcji \(\displaystyle{ f'(x).}\)
Stwierdzamy, że \(\displaystyle{ f'(x) = 0.}\)
Stąd wnioskujemy, że
\(\displaystyle{ f(x) = c \rightarrow f(0) = c = 0, \ \ c = 0. }\)
\(\displaystyle{ \arcsin(\tg(x)) - \arctg \left(\frac{\sin(x)}{\sqrt{\cos(2x)}} \right) = 0. }\)
\(\displaystyle{ \arcsin(\tg(x)) = \arctg \left(\frac{\sin(x)}{\sqrt{\cos(2x)}} \right).}\)
\(\displaystyle{ f(x) = \arcsin(\tg(x)) - \arctg \left( \frac{\sin(x)}{\sqrt{\cos(2x)}} \right), \ \ |x|<\frac{\pi}{4}. }\)
Obliczamy wartość tej funkcji w zerze:
\(\displaystyle{ f(0) = \arcsin(\tg(0)) - \arctg \left( \frac{\sin(0)}{\sqrt{\cos(2\cdot 0 )}} \right) = 0 - 0 =0.}\)
Obliczamy pochodną tej funkcji \(\displaystyle{ f'(x).}\)
Stwierdzamy, że \(\displaystyle{ f'(x) = 0.}\)
Stąd wnioskujemy, że
\(\displaystyle{ f(x) = c \rightarrow f(0) = c = 0, \ \ c = 0. }\)
\(\displaystyle{ \arcsin(\tg(x)) - \arctg \left(\frac{\sin(x)}{\sqrt{\cos(2x)}} \right) = 0. }\)
\(\displaystyle{ \arcsin(\tg(x)) = \arctg \left(\frac{\sin(x)}{\sqrt{\cos(2x)}} \right).}\)
-
- Użytkownik
- Posty: 22210
- Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Bydgoszcz
- Podziękował: 38 razy
- Pomógł: 3755 razy
Re: arcusy i równość
Dobra, bez żadnego różniczkowania
Weżmy trójkąt prostokątny o bokach \(y,\sqrt{1-y^2},1\) i oznaczmy przez \(\alpha\) kąt naprzeciwko boku \(y\).
Wtedy
$$\tan\alpha =\frac{y}{\sqrt{1-y^2}} \quad\text{ oraz}\quad \sin\alpha=y.$$
Wyliczając z obu tych równości \(\alpha\) dostajemy sympatyczną tożsamość
$$(*)\ \ \ \ \arcsin y=\arctan \frac{y}{\sqrt{1-y^2}} $$
prawdziwą dla \(0<y<1\).
Zauważmy, że obie strony tożsamości, którą mamy wykazać są funkcjami nieparzystymi zmiennej \(x\), więc wystarczy ją pokazać dla dodatnich argumentów.
Mamy
\begin{align}
\frac{\sin x}{\sqrt{\cos 2x} }&=\frac{\sin x}{\sqrt{\cos^2 x-\sin^2 x}}=\frac{\tan x}{\sqrt{1-\tan^2 x}}
\end{align}
więc wystarczy w (*) wstawić \(y=\tan x\) i już.
Weżmy trójkąt prostokątny o bokach \(y,\sqrt{1-y^2},1\) i oznaczmy przez \(\alpha\) kąt naprzeciwko boku \(y\).
Wtedy
$$\tan\alpha =\frac{y}{\sqrt{1-y^2}} \quad\text{ oraz}\quad \sin\alpha=y.$$
Wyliczając z obu tych równości \(\alpha\) dostajemy sympatyczną tożsamość
$$(*)\ \ \ \ \arcsin y=\arctan \frac{y}{\sqrt{1-y^2}} $$
prawdziwą dla \(0<y<1\).
Zauważmy, że obie strony tożsamości, którą mamy wykazać są funkcjami nieparzystymi zmiennej \(x\), więc wystarczy ją pokazać dla dodatnich argumentów.
Mamy
\begin{align}
\frac{\sin x}{\sqrt{\cos 2x} }&=\frac{\sin x}{\sqrt{\cos^2 x-\sin^2 x}}=\frac{\tan x}{\sqrt{1-\tan^2 x}}
\end{align}
więc wystarczy w (*) wstawić \(y=\tan x\) i już.