Iloczyn cosinusów

[pelas_91]

Oblicz: \(\displaystyle{ \cos 55^\circ \cdot \cos 65^\circ \cdot \cos 175^\circ}\)

Poproszę o wskazówkę. Próbowałem ze wzorów na iloczyny funkcji oraz ze wzoru na sinus podwojonego kąta.

[Psiaczek]

Poproszę o wskazówkę. Próbowałem ze wzorów na iloczyny funkcji oraz ze wzoru na sinus podwojonego kąta.

nie chce mi się udowadniać tego , ale:

\(\displaystyle{ 4\cos (60-5)^\circ \cdot \cos (60+5)^\circ \cdot ( \cos5^\circ )=\cos(3\cdot5^\circ)}\)

i dalej już idzie , wynik \(\displaystyle{ - \frac{1}{8} \cdot \sqrt{ 2+\sqrt{3} }}\)

[janusz47]

Udowodnij i dołącz równanie:

\(\displaystyle{ \cos (55^{o}) + \cos( 65^{o}) + \cos(175^{o}) = 0 }\)

[Premislav]

Sorry, ale jestem przyzwyczajony do radianów:
\(\displaystyle{ \cos \left(\frac{11}{36}\pi\right)\cos \left(\frac{13}{36}\pi\right)\cos \left(\frac{35}{36}\pi \right)\\=\frac{1}{2}\cdot 2\cos \left(\frac{11}{36}\pi\right)\cos \left(\frac{13}{36}\pi\right)\cos \left(\frac{35}{36}\pi \right)\\=\frac{1}{2}\cdot \left( \cos\left(\frac{2}{3}\pi\right)+\cos\left(\frac{\pi}{18}\right) \right)\cos\left(\frac{35}{36}\pi\right)\\=-\frac{1}{2}\cos \left(\frac{\pi}{36}\right)\left(-\frac{1}{2}+2\cos^2\left(\frac{\pi}{36}\right)-1 \right)\\=\frac{3}{4}\cos\left(\frac{\pi}{36}\right)-\cos^3\left(\frac{\pi}{36}\right)\\=\frac{1}{4}\cdot \left(3\cos\left(\frac{\pi}{36}\right)-4\cos^3\left(\frac{\pi}{36}\right)\right)\\=-\frac{1}{4}\cos\left(\frac{\pi}{12}\right)}\)
no a wartość
\(\displaystyle{ \cos\left(\frac{\pi}{12}\right)}\) możesz sobie obliczyć ze wzoru na kosinus kąta połówkowego (a jak go nie znasz, to kosinus podwojonego kąta i równanie kwadratowe do rozwiązania)…