Tożsamość trygonometryczna?
-
- Użytkownik
- Posty: 194
- Rejestracja: 23 lis 2014, o 19:35
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: polska
- Podziękował: 64 razy
Tożsamość trygonometryczna?
Czy \(\displaystyle{ \arctan x+\arccot x=\frac{\pi}{2}}\) dla każdego rzeczywistego argumentu? Bo wolfram wyrzuca wartość ujemną dla ujemnych argumentów, a inne źródła wskazują że zawsze jest wynik \(\displaystyle{ \frac{\pi}{2}}\).
Ostatnio zmieniony 24 lip 2019, o 19:04 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Nie stosuj wzorów matematycznych w nazwie tematu. Punkt 2.7 instrukcji LaTeX-a. Funkcje matematyczne należy zapisywać: sinus - \sin, logarytm - \log, logarytm naturalny - \ln itd.
Powód: Nie stosuj wzorów matematycznych w nazwie tematu. Punkt 2.7 instrukcji LaTeX-a. Funkcje matematyczne należy zapisywać: sinus - \sin, logarytm - \log, logarytm naturalny - \ln itd.
- Premislav
- Użytkownik
- Posty: 15687
- Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 196 razy
- Pomógł: 5221 razy
Re: Tożsamość trygonometryczna?
Po prostu wolfram inaczej niż standardowo definiuje arkus kotangens (nie pamiętam jak), zwyczajnie bierze inną gałąź kotangensa. A pies mu mordę lizał, powinno to być napisane w dokumentacji. Wpisz w wyszukiwarce wolfram documentation czy coś.
Jeżeli chcemy, by wzór \(\displaystyle{ \arcctg(\ctg x)=x}\) zachodził dokładnie dla \(\displaystyle{ x\in\left( 0, \pi \right)}\) i tak definiujemy arkus kotangens, to równość
\(\displaystyle{ \arctan x+\arccot x=\frac{\pi}{2}}\)
zajdzie dla dowolnych argumentów rzeczywistych. By się o tym przekonać, wystarczy zauważyć, że równość zachodzi np. dla \(\displaystyle{ x=1}\), dziedzina to \(\displaystyle{ \RR}\), zaś \(\displaystyle{ f(x)=\arctg x+\arcctg x}\) ma pochodną równą zero w tej dziedzinie (która jest przedziałem).
Jeżeli chcemy, by wzór \(\displaystyle{ \arcctg(\ctg x)=x}\) zachodził dokładnie dla \(\displaystyle{ x\in\left( 0, \pi \right)}\) i tak definiujemy arkus kotangens, to równość
\(\displaystyle{ \arctan x+\arccot x=\frac{\pi}{2}}\)
zajdzie dla dowolnych argumentów rzeczywistych. By się o tym przekonać, wystarczy zauważyć, że równość zachodzi np. dla \(\displaystyle{ x=1}\), dziedzina to \(\displaystyle{ \RR}\), zaś \(\displaystyle{ f(x)=\arctg x+\arcctg x}\) ma pochodną równą zero w tej dziedzinie (która jest przedziałem).
- Janusz Tracz
- Użytkownik
- Posty: 4074
- Rejestracja: 13 sie 2016, o 15:01
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: hrubielowo
- Podziękował: 80 razy
- Pomógł: 1395 razy
Re: Tożsamość trygonometryczna?
Wolfram bierze nawet połowę gałęzi \(\displaystyle{ \ctg(x)}\) przez zerem i połowę za zerem. Odwraca funkcję \(\displaystyle{ \ctg(x)}\) określoną na \(\displaystyle{ \left(- \frac{ \pi }{2}, \frac{ \pi }{2} \right) \setminus \left\{ 0\right\}}\) co widać npPo prostu wolfram inaczej niż standardowo definiuje arkus kotangens (nie pamiętam jak), zwyczajnie bierze inną gałąź kotangensa.
Kod: Zaznacz cały
https://www.wolframalpha.com/input/?i=plot+arccot%28x%29
PS To chyba też rozwiązuje zagadkę dlaczego Wolfram ma problem z prostymi granicami z \(\displaystyle{ \text{arcctg}}\) bo podejście Wolframowskie rodzi problem z zerem w \(\displaystyle{ \arctg\left( \frac{1}{x} \right)}\). Nie do końca nawet granica pomaga (bo nie istnieje). Tego problemu nie ma w "standardowym" podejść bo funkcja odwrotna jest określona już na całym \(\displaystyle{ \RR}\) i nie trzeba kombinować.