Równanie trygonometryczne

Własności funkcji trygonometrycznych i cyklometrycznych. Tożsamości. RÓWNANIA I NIERÓWNOŚCI.
matematykipatyk
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 235
Rejestracja: 12 mar 2018, o 15:38
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wejherowo
Podziękował: 88 razy

Równanie trygonometryczne

Post autor: matematykipatyk »

Jak najszybciej rozwiązać równanie \(\displaystyle{ \sin 2x + \cos 2x = 1}\) ?
Awatar użytkownika
Premislav
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 15685
Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 195 razy
Pomógł: 5219 razy

Re: Równanie trygonometryczne

Post autor: Premislav »

Chyba jakiś problem techniczny z LaTeX-em ma miejsce, więc opiszę po prostu, co zrobić: zastosuj wzór redukcyjny wiążący cosinus z sinusem, a następnie wzór na sumę sinusów.-- 16 lip 2019, o 17:03 --Jeśli ten wzór nie jest redukcyjny, to się nie czepiajcie (chyba że bardzo chcecie, to zacznę znów wytykać wszystkie błędy językowe w postach). Chodzi o wzór \(\displaystyle{ \cos \alpha=\sin\left( \frac \pi 2-\alpha\right)}\)
Awatar użytkownika
Dasio11
Moderator
Moderator
Posty: 10211
Rejestracja: 21 kwie 2009, o 19:04
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 40 razy
Pomógł: 2359 razy

Re: Równanie trygonometryczne

Post autor: Dasio11 »

Albo pomnóż obie strony przez \(\displaystyle{ \cos \frac{\pi}{4}=\sin \frac{\pi}{4}=\frac{\sqrt{2}}{2}}\) i zastosuj wzór \(\displaystyle{ \sin(x+y)=\sin x \cos y+\cos x \sin y}\).

P.S. Jak widać LaTeX działa, tylko trzeba umieć. ;-)
Dilectus
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2662
Rejestracja: 1 gru 2012, o 00:07
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Pomógł: 369 razy

Re: Równanie trygonometryczne

Post autor: Dilectus »

Podnieś równanie stronami do kwadratu.
a4karo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 22171
Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziękował: 38 razy
Pomógł: 3748 razy

Re: Równanie trygonometryczne

Post autor: a4karo »

Dilectus pisze:Podnieś równanie stronami do kwadratu.
A potem baw się z obcymi pierwiastkami
Dilectus
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2662
Rejestracja: 1 gru 2012, o 00:07
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Pomógł: 369 razy

Re: Równanie trygonometryczne

Post autor: Dilectus »

a4karo, to prawda, trzeba się trochę pobawić, bo gdyby po prawej stronie równania była liczba \(\displaystyle{ -1}\), to po podniesieniu stronami do kwadratu otrzymalibyśmy to samo, tzn.

\(\displaystyle{ \left( \sin 2x + \cos 2x\right)^2 = 1^2 =1 \quad \text{i} \quad \left( \sin 2x + \cos 2x\right)^2 = (-1)^2=1}\)
Awatar użytkownika
kerajs
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 8570
Rejestracja: 17 maja 2013, o 10:23
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 306 razy
Pomógł: 3347 razy

Re: Równanie trygonometryczne

Post autor: kerajs »

Dilectus pisze:\(\displaystyle{ \left( \sin 2x + \cos 2x\right)^2 = 1^2 =1 \quad \text{i} \quad \left( \sin 2x + \cos 2x\right)^2 = (-1)^2=1}\)
Intrygujący zapis równania.
Dilectus pisze:a4karo, to prawda, trzeba się trochę pobawić, bo gdyby po prawej stronie równania była liczba \(\displaystyle{ -1}\), to po podniesieniu stronami do kwadratu otrzymalibyśmy to samo,
Więc uzyskane rozwiązania wystarczy podzielić przez dwa!

A serio, to wystarczy zrobić odpowiednie założenie.


Inaczej:
\(\displaystyle{ 2\sin x \cos x+\cos^2x-\sin^2x=\sin^2x+\cos^2x \\
2\sin x\left( cos x - \sin x\right)=0\\
\sin x=0 \ \ \ \vee \ \ \ \sin x=\cos x}\)
Majeskas
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1456
Rejestracja: 14 gru 2007, o 14:36
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 49 razy
Pomógł: 198 razy

Re: Równanie trygonometryczne

Post autor: Majeskas »

Dilectus pisze:
A serio, to wystarczy zrobić odpowiednie założenie.
Można też zrobić metodą starożytnych (uwielbiam tę nazwę ), tj. rozwiązać, nie przejmując się założeniami, i sprawdzić, które rozwiązania spełniają wyjściowe równanie.
ODPOWIEDZ