Zadanie brzmi: Udowodnij, że dla dowolnej liczby rzeczywistej \(\displaystyle{ \alpha}\) oraz dowolnych liczb dodatnich x i y zachodzi nierówność \(\displaystyle{ x^{\sin ^{2} \alpha } \cdot y^{\cos ^{2} \alpha }< x + y}\)
Chciałbym dowiedzieć się, czy poniższe rozwiązanie jest jadalne.
Ukryta treść:
Dla ustalenia uwagi zakładam \(\displaystyle{ x \ge y}\). Następnie przekształcam lewą stronę nierówności do postaci \(\displaystyle{ x ^{1-\cos ^{2} \alpha } \cdot y ^{\cos ^{2} \alpha }}\) co po uproszczeniu daje:\(\displaystyle{ x \cdot \left( \frac{y}{x}\right) ^{\cos ^{2} \alpha }}\). Wiadomo, że \(\displaystyle{ \cos ^{2} \alpha \le 1}\) oraz \(\displaystyle{ \frac{y}{x} \le 1}\) . W efekcie mamy \(\displaystyle{ x \cdot \left( \frac{y}{x}\right) ^{\cos ^{2} \alpha } \le x<x+y}\)
Ostatnio zmieniony 24 cze 2019, o 17:50 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód:Punkt 2.7 instrukcji LaTeX-a. Funkcje matematyczne należy zapisywać: sinus - \sin, logarytm - \log, logarytm naturalny - \ln itd.
Dobrze, (chociaż założenie, że \(\displaystyle{ x\geq y}\) wypadałoby uzasadnić, no i ważne jest, że \(\displaystyle{ \cos^2\alpha \geq 0}\) a nie że \(\displaystyle{ \leq 1}\))