Nierówność ze szczyptą f. trygonometrycznych

[Maurycy]

Zadanie brzmi: Udowodnij, że dla dowolnej liczby rzeczywistej \(\displaystyle{ \alpha}\) oraz dowolnych liczb dodatnich x i y zachodzi nierówność \(\displaystyle{ x^{\sin ^{2} \alpha } \cdot y^{\cos ^{2} \alpha }< x + y}\)

Chciałbym dowiedzieć się, czy poniższe rozwiązanie jest jadalne.

Ukryta treść:    

Dla ustalenia uwagi zakładam \(\displaystyle{ x \ge y}\). Następnie przekształcam lewą stronę nierówności do postaci \(\displaystyle{ x ^{1-\cos ^{2} \alpha } \cdot y ^{\cos ^{2} \alpha }}\) co po uproszczeniu daje:\(\displaystyle{ x \cdot \left( \frac{y}{x}\right) ^{\cos ^{2} \alpha }}\). Wiadomo, że \(\displaystyle{ \cos ^{2} \alpha \le 1}\) oraz \(\displaystyle{ \frac{y}{x} \le 1}\) . W efekcie mamy \(\displaystyle{ x \cdot \left( \frac{y}{x}\right) ^{\cos ^{2} \alpha } \le x<x+y}\)

[a4karo]

Dobrze, (chociaż założenie, że \(\displaystyle{ x\geq y}\) wypadałoby uzasadnić, no i ważne jest, że \(\displaystyle{ \cos^2\alpha \geq 0}\) a nie że \(\displaystyle{ \leq 1}\))