Równanie z sinusem i kosinusem

[41421356]

\(\displaystyle{ \cos x-\sqrt{3}\sin x=2}\)

Doprowadzam równanie do zmiennej z sinusem, wykonuję podstawienie aby uzyskać równanie kwadratowe, z którego wychodzą mi dwie klasy rozwiązań:

\(\displaystyle{ x=\frac{4}{3}\pi +2k\pi \ , \ x=\frac{5}{3}\pi+2k\pi}\)

W odpowiedzi mam tylko tą drugą klasę rozwiązań. Na jakiej podstawie mam u siebie wykluczyć to jedno rozwiązanie?

[Premislav]

A jak uzyskałeś równanie kwadratowe Jeśli np. podnosząc coś stronami do kwadratu, to nic dziwnego, pewnie pominąłeś jakieś potrzebne założenia, wszak np. z fałszywej równości \(\displaystyle{ -1=1}\), gdy się ją podniesie do kwadratu, dostalibyśmy \(\displaystyle{ 1=1}\).

Najprościej to zadanie rozwiązać, dzieląc równanie stronami przez \(\displaystyle{ 2}\) i zauważając wzór na sinus różnicy.

[41421356]

Dziękuję za podpowiedź , teraz już widzę swój błąd. Tylko mam pytanie, czy mógłbyś to swoje rozumowanie rozpisać? Choćby sam początek.

[Premislav]

\(\displaystyle{ \cos x-\sqrt{3}\sin x=2\\\frac 1 2\cos x-\frac{\sqrt{3}}{2}\sin x=1\\ \sin \left( \frac \pi 6\right)\cos x-\cos\left( \frac \pi 6\right)\sin x=1}\)
No i jest sobie taki wzór
\(\displaystyle{ \sin x\cos y-\cos x\sin y=\sin(x-y)}\), za pomocą którego możemy zwinąć lewą stronę. Zazwyczaj trudniej go zauważyć w tę stronę niż w drugą.

[41421356]

Teraz już wszystko jasne! Dziękuję bardzo za pomoc.