Równanie z parametrem

[419862391432]

Dla jakich wartości parametru \(\displaystyle{ a}\) równanie \(\displaystyle{ \frac{1}{ \frac{1}{2}\cos 2x+1 } =3a-1}\) ma rozwiązania?
\(\displaystyle{ x \neq \frac{ \pi }{2}+2k \pi}\)
Po zastosowaniu wzoru na \(\displaystyle{ \cos 2x}\):
\(\displaystyle{ \frac{1}{\cos ^{2} x}=3a-1}\)
Co dalej mam zrobić?

[Jan Kraszewski]

\(\displaystyle{ x \neq \frac{ \pi }{2}+2k \pi}\)

A to niby skąd się wzięło?

Po zastosowaniu wzoru na \(\displaystyle{ \cos 2x}\):
\(\displaystyle{ \frac{1}{\cos ^{2} x}=3a-1}\)

A możesz pokazać, jak stosujesz ten wzór?

JK

[419862391432]

Pomyłka: \(\displaystyle{ x \neq \frac{ \pi }{2}+k \pi}\). Bo myślałem, że (po przekształceniu) skoro cosinus jest w mianowniku to trzeba napisać dziedzinę, że nie może być równy zeru

\(\displaystyle{ \cos2x=2\cos ^{2}x-1 \\
\frac{1}{ \frac{1}{2} \cdot 2\cos ^{2} x-1+1 } =3a-1}\)

[Jan Kraszewski]

To jest zupełnie źle. Wygląda, jakbyś nie odróżniał \(\displaystyle{ \frac{1}{2}\cos 2x+1}\) od \(\displaystyle{ \frac{1}{2}\left( \cos 2x+1\right)}\). W zadaniu masz to pierwsze wyrażenie, a liczysz, jakbyś miał drugie.

JK

[419862391432]

Czyli będzie: \(\displaystyle{ \frac{1}{\cos ^{2} x+ \frac{1}{2} }=3a-1}\). Ale dalej nie wiem, co z tym zrobić, bo do żadnego wzoru mi nie pasuje. To jak dalej to zrobić?

I jaki symbol/symbole zapisuje źle, że mam poprawy wiadomości? Staram się pisać poprawnie Latexem

[Wojciech Szlosek]

Czyli będzie: \(\displaystyle{ \frac{1}{\cos ^{2} x+ \frac{1}{2} }=3a-1}\). Ale dalej nie wiem, co z tym zrobić, bo do żadnego wzoru mi nie pasuje. To jak dalej to zrobić?

I jaki symbol/symbole zapisuje źle, że mam poprawy wiadomości? Staram się pisać poprawnie Latexem

Kolego, teraz wystarczy przemnożyć "na krzyż" i sprawić, żeby po jednej stronie był jakiś cosinus, a po drugiej cała reszta.

[Jan Kraszewski]

Czyli będzie: \(\displaystyle{ \frac{1}{\cos ^{2} x+ \frac{1}{2} }=3a-1}\).

Tak. I nie ma żadnych założeń.

Ale dalej nie wiem, co z tym zrobić, bo do żadnego wzoru mi nie pasuje. To jak dalej to zrobić?

Musisz wyznaczyć zbiór wartości wyrażenia \(\displaystyle{ \frac{1}{\cos ^{2} x+ \frac{1}{2} }}\) dla \(\displaystyle{ x\in\RR}\). Do tego wykonane przez Ciebie przekształcenie nie było potrzebne, prościej jest wyznaczyć zbiór wartości wyrażenia \(\displaystyle{ \frac{1}{ \frac{1}{2}\cos 2x+1 }}\).

I jaki symbol/symbole zapisuje źle, że mam poprawy wiadomości? Staram się pisać poprawnie Latexem

Drobiazgi. Raz napisałeś \(\displaystyle{ cos}\) zamiast \(\displaystyle{ \cos}\), a raz dałeś dwie linie wzorów jedna pod drugą, każdą tagując osobno - lepiej jest całość dać w pojedyncze tagi, a nowa linię zrobić przez \, wtedy jest trochę więcej światła między liniami.

JK

[Dilectus]

\(\displaystyle{ \frac{1}{ \frac{1}{2}\cos 2x+1 } =3a-1}\)

Zastanów się, jakie wartości może przyjmować lewa strona równania, jeśli wiesz, że

\(\displaystyle{ -1 \le \cos x \le 1}\),

a jak już to przemyślisz, to rozwikłasz problem parametru \(\displaystyle{ a}\)

[419862391432]

Zbiór wartości wyrażenia \(\displaystyle{ \frac{1}{\cos ^{2} x+ \frac{1}{2} }}\) to:
\(\displaystyle{ 0 \le \cos ^{2} x \le 1 |+ \frac{1}{2}
\\ \frac{1}{2} \le \cos ^{2}x+ \frac{1}{2} \le \frac{3}{2} | \cdot 3
\\ 2 \ge \frac{1}{\cos ^{2}x+ \frac{1}{2} } \ge \frac{2}{3}
\\ ZW=\left\langle \frac{2}{3},2 \right\rangle}\)
Myślałem, ale nie wiem, co dalej z tym trzeba zrobić

[Jan Kraszewski]

Wiesz, że wyrażenie \(\displaystyle{ \frac{1}{\cos ^{2} x+ \frac{1}{2} }}\) może przyjąć dowolną wartość z przedziału \(\displaystyle{ \left[ \frac23,2\right]}\) i nie przyjmuje innych wartości. Zatem równanie \(\displaystyle{ \frac{1}{ \frac{1}{2}\cos 2x+1 } =3a-1}\) będzie miało rozwiązanie dokładnie wtedy, gdy \(\displaystyle{ 3a-1}\) będzie liczbą z przedziału \(\displaystyle{ \left[ \frac23,2\right]}\).

JK

[419862391432]

A, czyli mam: \(\displaystyle{ a \in \left\langle \frac{5}{9},1 \right\rangle}\). Bo nie wiedziałem, że można potraktować przynależność jak równanie i dodawać/dzielić przedział (może źle matematycznie to opisałem, ale chodzi mi o to:
\(\displaystyle{ 3a-1 \in \left\langle \frac{2}{3},2 \right\rangle
\\ 3a \in \left\langle \frac{5}{3}, 3\right\rangle}\)
)
Dziękuję

[Jan Kraszewski]

A, czyli mam: \(\displaystyle{ a \in \left\langle \frac{5}{9},1 \right\rangle}\).

Tak.

Bo nie wiedziałem, że można potraktować przynależność jak równanie i dodawać/dzielić przedział (może źle matematycznie to opisałem, ale chodzi mi o to:
\(\displaystyle{ 3a-1 \in \left\langle \frac{2}{3},2 \right\rangle
\\ 3a \in \left\langle \frac{5}{3}, 3\right\rangle}\)

Jeżeli traktujesz to jako "dzielenie przedziału", to nie można, bo nie ma czegoś takiego. Ale powinieneś wiedzieć, że warunek \(\displaystyle{ 3a-1 \in \left[ \frac{2}{3},2 \right]}\) oznacza \(\displaystyle{ \frac23\le 3a-1\le 2}\) i normalnie rozwiązujesz te nierówności.

JK