oblicz różnicę i iloczyn f. trygonometrycznych

[shreder221]

Dzień dobry Zostałem poproszony o pomoc w zadaniu z trygonometrii i choć zadanie wydawało się proste spędziłem nad nim dłuższą chwilę i gdzieś cały czas jest błąd. Moglibyście powiedzieć co w moim rozumowaniu jest nie tak?

\(\displaystyle{ \sin \alpha +\cos \alpha=1 \frac{3}{4}}\)
Dla prostoty zapisu podstawiam \(\displaystyle{ \sin \alpha=a,
\cos \alpha=b}\)
Pytanie brzmi ile wynosi \(\displaystyle{ a \cdot b}\) oraz \(\displaystyle{ a-b}\)



\(\displaystyle{ a+b =1 \frac{3}{4}}\)
\(\displaystyle{ a^{2}+2ab + b^{2}= \frac{49}{16}}\)
\(\displaystyle{ 1+2ab = \frac{49}{16}}\)
\(\displaystyle{ 2ab = \frac{33}{16}}\)

Co jest już dziwne bo jakim cudem iloczyn dwóch liczb nie większych od 1 jest większa od 1 :p
Licząc różnicę jest jeszcze dziwniejsza kwestia
\(\displaystyle{ a-b=x}\)

\(\displaystyle{ a^{2}-2ab+b^{2}=x^{2}}\)
\(\displaystyle{ x^{2}=1-2ab=1-\frac{33}{16}<0}\)
Jako że działanie jest w zbierze liczb rzeczywistych nie jest to możliwe. Wytłumaczy mi ktoś gdzie się pomyliłem?

[MrCommando]

Wyjściowa równość nie jest prawdziwa.
Można łatwo otrzymać, że \(\displaystyle{ \sin \alpha +\cos \alpha\leq\sqrt{2}}\) dla \(\displaystyle{ \alpha \in \mathbb{R}}\). A przecież \(\displaystyle{ \sqrt{2}<\frac{7}{4}}\).

[Dilectus]

\(\displaystyle{ \sin \alpha +\cos \alpha=1 \frac{3}{4}}\)

Nie podnoś równania stronami do kwadratu, tylko skorzystaj ze znanej tożsamości trygonometrycznej

\(\displaystyle{ \sin\alpha+\cos\beta= 2\sin \frac{\alpha+\beta}{2}\cos \frac{\alpha-\beta}{2}}\)

U Ciebie będzie tak:

\(\displaystyle{ \sin \alpha +\cos \alpha= 2\sin \frac{\alpha+\alpha}{2}cos \frac{\alpha-\alpha}{2}= 1 \frac{3}{4}}\)

\(\displaystyle{ \sin\alpha+\cos\alpha= 2\sin\alpha\cdot 1=1 \frac{3}{4}}\)

Dalej już przecież dasz radę samodzielnie.

[Premislav]

Dilectus, „znana tożsamość" jest nieprawdziwa, zachodzi natomiast
\(\displaystyle{ \sin \alpha+{\red \sin \beta}=2\sin \frac{\alpha+\beta}{2}\cos \frac{\alpha-\beta}{2}}\)
i można tego użyć w zadaniu, gdy się zapisze \(\displaystyle{ \cos \alpha=\sin\left( \frac \pi 2-\alpha\right)}\).-- 17 maja 2019, o 15:39 --Swoją drogą to jak wspomniał MrCommando, natchmiast
\(\displaystyle{ \sin \alpha+\cos \alpha\le |\sin \alpha|+|\cos \alpha|\le \sqrt{1^2+1^2}\sqrt{\sin^2\alpha+\cos^2\alpha}=\sqrt{2}<\frac 7 4}\)

[Dilectus]

Dzięki, Premislav. Dałem plamę.