Tożsamość dla trójkąta

[mol_ksiazkowy]

Udowodnić, że w trójkącie:
\(\displaystyle{ \frac{a^2 \sin(\beta - \gamma)}{\sin( \alpha )}+ \frac{b^2 \sin( \gamma - \alpha )}{\sin( \beta )}+ \frac{c^2 \sin( \alpha - \beta )}{\sin( \gamma )}=0}\)

[timon92]

z twierdzenia sinusów \(\displaystyle{ \frac{a}{\sin \alpha}=\frac{b}{\sin \beta}=\frac{c}{\sin \gamma}=2R}\), więc wyciągamy przed nawias \(\displaystyle{ 4R^2}\) i w nawiasie zostaje \(\displaystyle{ \sin\alpha\sin(\beta-\gamma)+\sin\beta\sin(\gamma-\alpha)+\sin\gamma\sin(\alpha-\beta)}\), a to jest zero co widać po rozpisaniu \(\displaystyle{ \sin(\beta-\gamma)=\sin \beta \cos \gamma - \cos \beta \sin \gamma}\) itd.