iniekcja i suriekcja funkcji sin(x)

[matematykapj]

Witam

Ogólnie łapie co to jest iniekcja i suriekcja ale mam pewien problem z takim przykładem:

\(\displaystyle{ f: \NN \rightarrow \NN \\
f(x) = \sin (x)-5}\)

Ogólnie wykres tej funkcji to przesunięty wykres sinusa o 5 w dół. Jednak Jednak naszą przeciwdziedziną są liczby naturalne. Czyli w sumie wartosci które dostaniemy nie należą do przeciwdziedziny.

Zatem będzie to iniekcja, ale nie będzie suriekcja?

Pozdrawiam

[Jan Kraszewski]

Przede wszystkim ta funkcja jest źle określona, bo jej wartościami wcale nie są liczby naturalne. Dopóki nie poprawisz definicji, to nie ma specjalnie czego wyjaśniać.

JK

[matematykapj]

No czyli powinno być

\(\displaystyle{ \NN \rightarrow \left[ -1 ; 1\right]}\) ?

[Jan Kraszewski]

No skąd, tak jest nadal źle określona. Przecież odejmujesz \(\displaystyle{ 5}\).

Ale nie wiem "jak powinno być", bo od tego, jak określisz przeciwdziedzinę zależy odpowiedź na pytanie, czy funkcja jest surjekcją.

JK

[matematykapj]

Czyli w jaki sposób mogę określić przeciwdziedzinę? Bo ok, zbiorem wartości tej funkcji będzie \(\displaystyle{ \left[ -6 ; \right-4]}\).

Jak napisałem na początku, że przeciwdziedzina jest \(\displaystyle{ \NN}\) to powiedział Pan, że to nieprawda.

Pozdrawiam

[Jan Kraszewski]

Czyli w jaki sposób mogę określić przeciwdziedzinę?

A wiesz, co to jet przeciwdziedzina funkcji?

Przeciwdziedzina jest częścią składową definicji funkcji, zatem definicja funkcji musi obejmować informację o przeciwdziedzinie. Różne przeciwdziedziny to różne funkcje. Dlatego nie mogę odpowiedzieć na Twoje pytanie, bo na nie nie ma dobrej odpowiedzi - nie można "określić przeciwdziedziny", ona powinna być dana.

Bo ok, zbiorem wartości tej funkcji będzie \(\displaystyle{ \left[ -6 ; \right-4]}\).
No skąd! To nie jest zbiór wartości TEJ funkcji (choćby dlatego, że ta funkcja ma tylko przeliczalnie wiele wartości...). Natomiast zbiór \(\displaystyle{ \left[ -6 ; \right-4]}\) mógłby być przeciwdziedziną.

Jak napisałem na początku, że przeciwdziedzina jest \(\displaystyle{ \NN}\) to powiedział Pan, że to nieprawda.

Bo to nieprawda. Przeciwdziedzina musi być nadzbiorem zbioru wartości funkcji, a wartości tej funkcji nie są liczbami naturalnymi.

JK

[matematykapj]

Ok, czyli mogę określić przeciwdziedzinę jako \(\displaystyle{ \RR \rightarrow \RR}\) po prostu i wtedy suriekcją nie jest.

Czyli określenie funkcji jako \(\displaystyle{ \NN \rightarrow \NN}\) jest po prostu niepoprawne matematycznie? Mi się wcześniej wydawało, że jeśli tak zapiszemy to będą punkty po prostu na wykresie.

[Janusz Tracz]

A czy koleżanka rozróżnia pojęcia "przeciwdziedzina" i "zbiór wartości", czy używa ich zamiennie jak synonimów? Kluczem do zrozumienia co wolno napisać a czego nie jest rozróżnienie tych pojęć. Zbiór wartości jest jeden a przeciwdziedzin może być dużo ważne by zachodziło wtedy:

\(\displaystyle{ \text{zbiór wartości} \subseteq \text{przeciwdziedzina}}\)

Zatem gdy dziedziną jest \(\displaystyle{ \NN}\) to przeciwdziedziną może być \(\displaystyle{ \left[ -6 ,\right-4]}\) ale nie musi, równie dobrą przeciwdziedziną jest \(\displaystyle{ \left( -100,18\right]}\) albo \(\displaystyle{ \RR}\). A zbiorem wartości jest nomen omen \(\displaystyle{ \left\{ \sin n: n\in\NN\right\}}\). Sprawa się diametralnie zmienia gdy jako dziedziną przyjmujemy \(\displaystyle{ \RR}\) wtedy zbiorem wartości jest \(\displaystyle{ \left[ -6 ,\right-4]}\) zatem widać, że wybór dziedziny może determinować zbiór wartości. Gdy określasz tą funkcję poprzez \(\displaystyle{ f:\NN \rightarrow \NN}\) nie spełniasz powyższego warunku warunku, wszak nieprawdą jest, że:

\(\displaystyle{ \left\{ \sin n: n\in\NN\right\} \subseteq \NN}\)

zatem \(\displaystyle{ \NN}\) nie może być przeciwdziedziną.

[Jan Kraszewski]

No i warto pamiętać o rozróżnieniu, że funkcja to nie to samo, co wzór funkcji.

JK

[matematykapj]

Ok to czy dobrze rozumiem, założmy że mam funkcję \(\displaystyle{ f(x)=x}\).

Zbiorem wartości takiej funkcji są liczby rzeczywiste. Czyli nie mogę określić dziedziny i przeciwdziedziny jako \(\displaystyle{ \NN \rightarrow \NN}\) bo wtedy zbiór wartości nie zawiera sie w przeciwdziedzinie?

Pozdrawiam

Ok chyba juz łapie gdzie robie blad, jak zapisze \(\displaystyle{ \NN \rightarrow \NN}\) to zbiorem wartosci nie sa liczby rzeczywiste tylko naturalne i wtedy jest ok

Ale to wychodzi na to ze \(\displaystyle{ \RR \rightarrow \NN}\) nie moge napisac, bo zbiorem wartosci wcale nie sa liczby naturalne. Czy tak?

[a4karo]

No niestety nie. Na definicję funkcji składają sie trzy elementy: dziedzina, przeciwdziedzina i "przepis na funkcję".

Stwierdzenie

Zbiorem wartości takiej funkcji są liczby rzeczywiste

świadczy, że nie rozumiesz tego faktu.
O zbiorze wartości możesz mówić dopiero gdy masz określoną dziedzinę funkcji.
Jeżeli dziedzina funkcji byłby zbiór \(\displaystyle{ \NN}\), to zbiorem wartości byłby ten sam zbiór.


Parę przykładów:
\(\displaystyle{ f:\RR\to\RR}\) dana wzorem \(\displaystyle{ f(x)=\sin x}\) nie jest surjekcją.
\(\displaystyle{ f:\RR\to[-1,1]}\) dana wzorem \(\displaystyle{ f(x)=\sin x}\) jest surjekcją.
\(\displaystyle{ f:[0,\pi]\to[-1,1]}\) dana wzorem \(\displaystyle{ f(x)=\sin x}\) nie jest surjekcją.
\(\displaystyle{ f:\RR\to[0,1]}\) dana wzorem \(\displaystyle{ f(x)=\sin x}\) nie jest poprawnie określona.

Zauważ, że cały czas mowa o "takiej samej funkcji" \(\displaystyle{ \sin x}\)

[matematykapj]

Ok wlasnie zauwazylam i napisałam druga czesc wypowiedzi w poprzednim poscie, czy to co napisałam jest prawda?

[Jan Kraszewski]

Ok chyba juz łapie gdzie robie blad, jak zapisze \(\displaystyle{ \NN \rightarrow \NN}\) to zbiorem wartosci nie sa liczby rzeczywiste tylko naturalne i wtedy jest ok

To jest jedna z możliwości, by zdefiniować funkcję wzorem \(\displaystyle{ f(x)=x}\). Ale \(\displaystyle{ f:\NN\to\RR}\) też byłoby dobrze (tylko byłaby to inna funkcja).

Ale to wychodzi na to ze \(\displaystyle{ \RR \rightarrow \NN}\) nie moge napisac, bo zbiorem wartosci wcale nie sa liczby naturalne. Czy tak?

Nie możesz napisać, bo zbiór wartości nie zawiera się w zbiorze liczb naturalnych. Nie myl przeciwdziedziny funkcji z jej zbiorem wartości.

JK