Trygonometria - odrzucenie wyników

[polskipolak]

Witam,
rozwiązuje następujące równanie trygonometryczne z matury próbnej z 2013 roku:
\(\displaystyle{ \sin x \cdot |\cos x|= \frac{1}{4}}\), gdzie \(\displaystyle{ x \in \left\langle 0, 2\pi \right\rangle}\)
Równanie wymnażam przez 4, pozbywam się wartości bezwzględnej i stosuje wzór na podwojony sinus. Dochodzę do takich dwóch równości:
\(\displaystyle{ \sin 2x = \frac{1}{2}}\)
\(\displaystyle{ \sin 2x = -\frac{1}{2}}\)
Następnie rozwiązuje te proste równości i otrzymuje 8 następujących wyników:
\(\displaystyle{ x \in \left\{ \frac{ \pi }{12} , \frac{ \pi }{12} + \pi , \frac{5 \pi }{12} , \frac{5 \pi }{12} + \pi , \frac{7 \pi }{12} , \frac{7 \pi }{12} + \pi , \frac{- \pi }{12} + \pi , \frac{- \pi }{12} + 2 \pi \right\}}\)
Następnie wynik skonfrontowałem z rozwiązaniem w tym filmie:

Kod: Zaznacz cały

https://www.youtube.com/watch?v=EovbGsLMQm4

Wychodzi na to że tylko połowa moich odpowiedzi zgadza się z prawidłowym wynikiem więc zapewne czegoś nie odrzuciłem, lecz siedzę prawie od godziny i nie mogę niczego znaleźć.
Byłbym wdzięczny za pokazanie mi gdzie zrobiłem coś źle.
Dziękuje i pozdrawiam.

[janusz47]

Rozwiąż poprawnie to równanie, dzieląc go na rozwiązania w przedziałach od zera do pi pół i od pi pół do dwa pi.

[Premislav]

Zdaje się, że opuszczając wartość bezwzględną, nie wziąłeś pod uwagę tego, jak zachowuje się cosinus. Gdy \(\displaystyle{ x\in \left\langle 0, \frac \pi 2\right\rangle \cup\left\langle \frac 3 2\pi, 2\pi\right\rangle}\), to zachodzi \(\displaystyle{ \cos x\ge 0}\), zaś kiedy \(\displaystyle{ x\in \left( \frac \pi 2, \frac 3 2\pi\right)}\), to jest \(\displaystyle{ \cos x<0}\).

Czyli „pozbycie się" wartości bezwzględnej powinno odbyć się z uwzględnieniem tych przedziałów. To prowadzi do dwóch przypadków:
1) \(\displaystyle{ \sin x\cos x=\frac 1 4, \ x\in \left\langle 0, \frac \pi 2\right\rangle \cup\left\langle \frac 3 2\pi, 2\pi\right\rangle}\)
2) \(\displaystyle{ -\sin x\cos x=\frac 1 4, \ x\in \left( \frac \pi 2, \frac 3 2\pi\right)}\)
W obydwu przypadkach postępuje się tak, jak napisałeś, sprowadzając do sinusa podwojonego kąta.

1) mnożymy przez dwa, mamy \(\displaystyle{ \sin (2x)=\frac 1 2}\) tj.
\(\displaystyle{ 2x=\frac \pi 6+2k\pi \vee 2x=\pi-\frac \pi 6+2k\pi, \ k\in \ZZ}\)
a biorąc pod uwagę, że ograniczamy się do przedziału zawartego w \(\displaystyle{ \left\langle 0,2\pi\right\rangle}\):
\(\displaystyle{ 2x=\frac \pi 6 \vee 2x=\pi-\frac \pi 6 \vee 2x=\frac \pi 6+2\pi \vee 2x=\pi-\frac \pi 6+2\pi\\ x=\frac \pi{12}\vee x=\frac 5{12}\pi\vee x=\frac \pi {12}+\pi \vee x=\frac \pi 2-\frac \pi{12}+\pi}\)
Teraz sprawdzamy, które z tych rozwiązań wpadają do przedziału
\(\displaystyle{ \left\langle 0, \frac \pi 2\right\rangle \cup\left\langle \frac 3 2\pi, 2\pi\right\rangle}\)
i w związku z tym dwie ostatnie możliwości odrzucamy (gdyż nie należą do rzeczonego przedziału), tj.
\(\displaystyle{ x=\frac{\pi}{12}\vee x=\frac 5 {12}\pi}\)
2) Podobnie.

[polskipolak]

Dzięki wielkie za wyjaśnienie. Muszę uważać następnym razem