Rozwiąż równanie

[Michal2115]

\(\displaystyle{ \sin3x - \sin x= \sin2x}\)

Doszedłem do momentu

\(\displaystyle{ 2\sin \frac{3x}{2} \cos \frac{x}{2} =\sin3x}\)
Lecz nie wiem co dalej.
Mam jeszcze jedno pytanie, natknąłem się na zapis

\(\displaystyle{ \sin \alpha=\sin \beta \Leftrightarrow \alpha=\beta+2k\pi \vee \alpha=\pi-\beta+2k\pi, \ k\in \ZZ}\)

Czy z tangensem sytuacja wygląda tak samo?

[a4karo]

Narysuj sobie wykres tangensa, to zobaczysz

[janusz47]

\(\displaystyle{ \sin(3x) - \sin(x) = \sin(2x)}\)

Jeśli zastosujemy do lewej strony równania wzór na różnicę funkcji sinus, a do prawej na sinus podwojonego argumentu, to otrzymamy:

\(\displaystyle{ 2\sin(x)\cos(2x) = 2\sin(x)\cos(x)}\)

stąd

\(\displaystyle{ 2\sin(x)[ \cos(2x) -\cos(x) ] = 0}\)

Dalej już sobie poradzisz.

[Michal2115]

a4karo, rozumiem że w \(\displaystyle{ \tg \ctg}\) występuje tylko zapis \(\displaystyle{ \alpha=\beta+2k\pi}\) ?

Super, dziękuje Janusz.
Mam jeszcze pytanie, natknąłem się na zapis
\(\displaystyle{ \sin 3x=2\sin \frac{3x}{2} \cos \frac{3x}{2}}\)
Lecz nie wiem z czego to wynika.

[janusz47]

Wynika on ze wzoru na sinus podwojonego argumentu:

\(\displaystyle{ \sin(3x) = \sin\left(2\cdot \frac{3}{2}x\right) = 2\sin\left(\frac{3}{2}x\right)\cdot \cos\left(\frac{3}{2}x\right) .}\)

[Michal2115]

wow, faktycznie, dziękuje!

[Jan Kraszewski]

a4karo, rozumiem że w \(\displaystyle{ \tg \ctg}\) występuje tylko zapis \(\displaystyle{ \alpha=\beta+2k\pi}\) ?

Nie. Funkcje tangens i cotangens mają inny okres.

JK

[Dilectus]

\(\displaystyle{ \sin3x - \sin x= \sin2x}\)

Michal2115, skorzystaj z takiej tożsamości trygonometrycznej (lewa strona równania):

\(\displaystyle{ \sin \alpha \pm \sin \beta=2\sin \frac{\alpha \pm \beta}{2}\cdot \cos \frac{\alpha \mp \beta}{2}}\)

[Michal2115]

Tak, już wiem, mimo to dziękuje i tak!

\(\displaystyle{ \tg \alpha=\tg \beta \Leftrightarrow \alpha=\beta+k\pi \vee \alpha=\pi-\beta+k\pi, \ k\in \ZZ}\)
Czy to jest poprawny zapis?

[Jan Kraszewski]

\(\displaystyle{ \tg \alpha=\tg \beta \Leftrightarrow \alpha=\beta+k\pi \vee \alpha=\pi-\beta+k\pi, \ k\in \ZZ}\)
Czy to jest poprawny zapis?

No skąd! Naprawdę myślisz, że takie wzory tworzy się zamieniając jedne znaczki na drugie? Zrobiłeś to, co zalecił a4karo?

Narysuj sobie wykres tangensa, to zobaczysz

JK

[Michal2115]

Mam przed nosem wykres, z karty wzorów i wiem, tyle że w tangensie okres wynosi \(\displaystyle{ \pi}\).

[Jan Kraszewski]

Masz przed nosem wykres i twierdzisz, że

\(\displaystyle{ \tg \alpha=\tg \beta \Leftrightarrow \alpha=\beta+k\pi \red\vee \alpha=\pi-\beta+k\pi\black, \ k\in \ZZ}\)

? Naprawdę?

JK

[Michal2115]

\(\displaystyle{ \tg \alpha=\tg \beta \Leftrightarrow \alpha=\beta+k\pi, \ k\in \ZZ}\)
Czy to jest poprawny zapis?

[Jan Kraszewski]

To jest przede wszystkim wreszcie prawdziwa własność.

JK

[a4karo]

Mam wrażenie, że nie za bardzo rozumiesz te zapisy, na które (jak piszesz) się natknąłeś:
\(\displaystyle{ \sin \alpha=\sin \beta \Leftrightarrow \alpha=\beta+2k\pi \vee \alpha=\pi-\beta+2k\pi, \ k\in \ZZ}\)

\(\displaystyle{ \tg \alpha=\tg \beta \Leftrightarrow \alpha=\beta+k\pi, \ k\in \ZZ}\)

Popatrz na wykresy sinusa i tangensa i myśl tak długo, aż zrozumiesz dlaczego w przypadku sinusa są dwa warunki a w przypadku tangensa tylko jeden.
Uczenie matematyki nie polega na uczeniu się wzorów, lecz na rozumieniu co one oznaczają i dlaczego takie są. A to zupełnie inny rodzaj aktywności umysłowej.