Rozwiąż równanie:
\(\displaystyle{ \sin ^{4} x-\cos ^{4} x= \frac{1}{2}}\)
Rozwiąż równanie
-
- Użytkownik
- Posty: 105
- Rejestracja: 19 lut 2019, o 17:40
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków
- Podziękował: 24 razy
Rozwiąż równanie
Ostatnio zmieniony 25 kwie 2019, o 00:45 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Punkt 2.7 instrukcji LaTeX-a. Funkcje matematyczne należy zapisywać: sinus - \sin, logarytm - \log, logarytm naturalny - \ln itd. Temat umieszczony w złym dziale.
Powód: Punkt 2.7 instrukcji LaTeX-a. Funkcje matematyczne należy zapisywać: sinus - \sin, logarytm - \log, logarytm naturalny - \ln itd. Temat umieszczony w złym dziale.
- Premislav
- Użytkownik
- Posty: 15685
- Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 195 razy
- Pomógł: 5219 razy
Rozwiąż równanie
Ze wzoru na różnicę kwadratów i z jedynki trygonometrycznej:
\(\displaystyle{ \sin^4 x-\cos^4 x=(\sin^2 x-\cos^2 x)(\sin^2 x+\cos^2 x)=\sin^2 x-\cos^2 x}\)
Teraz skorzystajmy z tego, że
\(\displaystyle{ \cos^2 x-\sin^2 x=\cos(2x)}\), a dostaniemy
\(\displaystyle{ \cos(2x)=-\frac 1 2}\), tj.
\(\displaystyle{ 2x=\frac 2 3\pi+2k\pi \vee 2x=-\frac 2 3 \pi+2k\pi\\ x=\frac \pi 3+k\pi \vee x=-\frac\pi 3+k\pi, \ k\in \ZZ}\)
\(\displaystyle{ \sin^4 x-\cos^4 x=(\sin^2 x-\cos^2 x)(\sin^2 x+\cos^2 x)=\sin^2 x-\cos^2 x}\)
Teraz skorzystajmy z tego, że
\(\displaystyle{ \cos^2 x-\sin^2 x=\cos(2x)}\), a dostaniemy
\(\displaystyle{ \cos(2x)=-\frac 1 2}\), tj.
\(\displaystyle{ 2x=\frac 2 3\pi+2k\pi \vee 2x=-\frac 2 3 \pi+2k\pi\\ x=\frac \pi 3+k\pi \vee x=-\frac\pi 3+k\pi, \ k\in \ZZ}\)
-
- Użytkownik
- Posty: 105
- Rejestracja: 19 lut 2019, o 17:40
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków
- Podziękował: 24 razy
Rozwiąż równanie
Dziękuje!
Mam pytanie, bo ja zrobiłem tak, czy to jest źle?
\(\displaystyle{ 2x= \frac{4 \pi }{3} +2k \pi \vee 2x= \frac{2 \pi }{3} +2k \pi}\)
\(\displaystyle{ x= \frac{2 \pi }{3} +k \pi \vee x= \frac{1}{3} \pi +k \pi}\)
Mam pytanie, bo ja zrobiłem tak, czy to jest źle?
\(\displaystyle{ 2x= \frac{4 \pi }{3} +2k \pi \vee 2x= \frac{2 \pi }{3} +2k \pi}\)
\(\displaystyle{ x= \frac{2 \pi }{3} +k \pi \vee x= \frac{1}{3} \pi +k \pi}\)
- Premislav
- Użytkownik
- Posty: 15685
- Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 195 razy
- Pomógł: 5219 razy
Re: Rozwiąż równanie
Jak się chwilę przyjrzeć, to ten wynik jest równoważny mojemu, gdyż
\(\displaystyle{ -\frac \pi 3+\pi=\frac 2 3 \pi}\), tak że jest OK.
\(\displaystyle{ -\frac \pi 3+\pi=\frac 2 3 \pi}\), tak że jest OK.
-
- Użytkownik
- Posty: 105
- Rejestracja: 19 lut 2019, o 17:40
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków
- Podziękował: 24 razy