Dowód z funkcjami trygonometrycznymi

[las484]

Wykaż że jeżeli \(\displaystyle{ \alpha}\) i \(\displaystyle{ \beta}\) są kątami ostrymi dla których \(\displaystyle{ \tg \alpha = \frac{1}{7}~~,~~\sin \beta = \frac{ \sqrt{10} }{10}}\) to \(\displaystyle{ \alpha +2 \beta = \frac{ \pi }{4}}\)

[Premislav]

Dla kąta ostrego \(\displaystyle{ \alpha}\) mamy \(\displaystyle{ \sin \alpha= \frac{\tg \alpha}{\sqrt{1+\tg^2 \alpha}}}\), więc tutaj skoro \(\displaystyle{ \tg \alpha=\frac 1 7}\), to \(\displaystyle{ \sin \alpha=\frac{\frac 1 7}{ \sqrt{\frac{50}{49}}}=\frac{1}{5\sqrt{2}}}\) i z jedynki trygonometrycznej \(\displaystyle{ \cos \alpha=\frac{7}{5\sqrt{2}}}\).
Ponadto jest \(\displaystyle{ \cos(2\beta)=1-2\sin^2 \beta}\), czyli tutaj
\(\displaystyle{ \cos(2\beta)=1-\frac 1 5=\frac 4 5}\), stąd (wszak \(\displaystyle{ 2\beta}\) należy do przedziału \(\displaystyle{ (0,\pi)}\)) \(\displaystyle{ \sin(2\beta)=\frac 3 5}\) i mamy
\(\displaystyle{ \sin(\alpha+2\beta)=\sin \alpha\cos (2\beta)+\cos \alpha\sin(2\beta)=\frac{1}{\sqrt{2}}}\)
oraz
\(\displaystyle{ \cos(\alpha+2\beta)=\cos \alpha \cos(2\beta)-\sin \alpha \sin(2\beta)=\frac{1}{\sqrt{2}}}\),
z pierwszego mamy \(\displaystyle{ \alpha+2\beta=\frac \pi 4+2k\pi \vee \alpha+2\beta=\pi-\frac \pi 4+2k\pi, \ k\in \ZZ}\), z drugiego mamy
\(\displaystyle{ \alpha+2\beta=\frac \pi 4+2k\pi \vee \alpha+2\beta=-\frac \pi 4+2k\pi, \ k\in \ZZ}\),
ale \(\displaystyle{ \alpha+2\beta\in\left( 0, \frac 3 2\pi\right)}\), a jedynym fragmentem tego przedziału, w którym zarówno sinus, jak i cosinus jest dodatni, jest \(\displaystyle{ \left( 0, \frac \pi 2\right)}\), stąd i z powyższych mamy \(\displaystyle{ \alpha+2\beta=\frac \pi 4}\), c.n.d.