nierówność wykładnicza z funkcjami trygonometrycznymi

[Jmoriarty]

\(\displaystyle{ \frac{2 ^{-\cos(x)+1}-1}{1-2 ^{-\cos(x)} } \le 0}\)

Jak rozwiązać taką nierówność? Próbowałem, ale mi nie wyszło. Sprawdziłem warunki kiedy mianownik będzie dodatni, a licznik ujemny i na odwrót, ale nadal nie wychodzi mi poprawna odpowiedź.

To chyba akurat tu nic nie zmienia, ale dodam, że dziedzina to \(\displaystyle{ \left|2 ^{-\cos(x)} \right| <1}\).

[a4karo]

A potrafisz rozwiązać nierówność \(\displaystyle{ \frac{2u-1}{1-u}\leq 0}\)?

PS w tę dziedzinę nie wierzę

[Jmoriarty]

Potrafię.
Może podam moje próby.
Najpierw spróbowałem wyznaczyć pierwszy warunek, w którym licznik będzie dodatni lub równy zero, a mianownik ujemny.
Wyszło mi to tak:
\(\displaystyle{ 2 ^{-\cos (x)+1} -1 \ge 0 \\
2 ^{-\cos (x)+1} \ge 1 \\
-\cos (x)+1 \ge 0 \\
\cos (x) \le 1}\)
no i z tego mi wychodzi rozwiązanie, że \(\displaystyle{ x \in \RR-\left\{ 2k \pi \right\}}\)
Dalej, teraz wyznaczam, że mianownik jest ujemny:
\(\displaystyle{ 1-2 ^{-\cos (x)} <0 \\
2 ^{-\cos (x)} >1 \\
-\cos (x)>0 \\
\cos (x)<0}\)
i z tego mi wychodzi odpowiedź, że \(\displaystyle{ x \in \frac{ \pi }{2} +k \pi}\)
Teraz bym musiał wyznaczyć drugi przypadek, który wspomniałem wcześniej, ale najpierw zapytam - czy ide w ogóle dobrym tokiem myślenia?

I tak, jest taka dziedzina, ponieważ nierówność wcześniej wyglądała tak:
\(\displaystyle{ \frac{2 ^{-\cos (x)} }{1-2 ^{-\cos (x) } } \le 1}\), gdzie
\(\displaystyle{ \frac{2 ^{-\cos (x)} }{1-2 ^{-\cos (x) } }}\) jest sumą szeregu geometrycznego o ilorazie \(\displaystyle{ q=2 ^{-\cos (x)}}\), którego moduł przecież musi być w tym przypadku mniejszy od jedynki, tak?

[a4karo]

Po pierwsze: w wykładniku jest \(\displaystyle{ -\cos \alpha}\) a nie \(\displaystyle{ \cos \alpha}\).
Po drugie \(\displaystyle{ \cos (x)\leq 1}\) zawsze, ale takiej nierówności chyba nie dostaniesz.

Nierówność \(\displaystyle{ \cos x<0}\) też źle rozwiązałeś: rozwiązaniem są przedziały

[Jmoriarty]

Zrozumiałem oba błędy już po dodaniu. Chciałem edytować, ale już nieważne.
Minus zapisałem źle w latexie i nie był widoczny - rozwiązywałem tak, jakby był.
W takim razie rozumiem, tylko że nawet biorąc pod uwagę te błędy, nie wyjdzie mi poprawna odpowiedź, którą jest \(\displaystyle{ x=2k \pi}\).

[Jan Kraszewski]

Napisz może to wyjściowe zadanie, bo być może wcześniej też popełniłeś błędy...

A nierówność \(\displaystyle{ \frac{2 ^{-\cos (x)} }{1-2 ^{-\cos (x) } } \le 1}\) można rozwiązać dużo prościej.

JK

[Jmoriarty]

Mam rozwiązać nierówność:
\(\displaystyle{ 2 ^{-\cos(x)} +4 ^{-\cos(x)} +8 ^{-\cos(x)} +... \le 1}\).-- 14 kwi 2019, o 17:23 --

A nierówność \(\displaystyle{ \frac{2 ^{-\cos (x)} }{1-2 ^{-\cos (x) } } \le 1}\) można rozwiązać dużo prościej.

Jak?

[Jan Kraszewski]

Założenie \(\displaystyle{ 2 ^{-\cos(x)}<1}\) jest równoważne \(\displaystyle{ \cos x>0}\).

Mamy \(\displaystyle{ \frac{2 ^{-\cos (x)} }{1-2 ^{-\cos (x) } } =\frac{1 }{2 ^{\cos (x) }-1 }}\). Ponieważ \(\displaystyle{ 2 ^{\cos (x) }-1>0}\) (dlaczego?), więc wystarczy sprawdzić, kiedy \(\displaystyle{ 2 ^{\cos (x) }-1\ge 1}\), czyli kiedy \(\displaystyle{ 2 ^{\cos (x) }\ge 2}\), czyli \(\displaystyle{ \cos x\ge 1}\), czyli \(\displaystyle{ \cos x=1}\), czyli \(\displaystyle{ x\in\{2k\pi:k\in\ZZ\}}\).

JK

[Jmoriarty]

Zrozumiałem wszystko, oprócz tego, dlaczego \(\displaystyle{ 2 ^{\cos (x) }-1>0}\).
Chociaż mam podejrzenie: dlatego, że suma szeregu w tym w wypadku musi byc dodatnia?

[Jan Kraszewski]

Zrozumiałem wszystko, oprócz tego, dlaczego \(\displaystyle{ 2 ^{\cos (x) }-1>0}\).

No skoro \(\displaystyle{ \cos x>0}\), to \(\displaystyle{ 2 ^{\cos (x) }> 1}\).

JK